Metrizabilidad de una compactificación de un punto

Question

Intento demostrar la caracterización de la metrizabilidad del espacio métrico localmente compacto $(X,d)$ :

Sea $X^*$ sea la compactificación en un punto de $(X,d)$ . Entonces $X^*$ es metrizable si y sólo si existe un mapa continuo propio $f : X \rightarrow \mathbb R$ que está acotada por abajo.

Puedo demostrar la condición suficiente definiendo la función $f$ por $f(x)=d(x,\infty)$ donde $X^*=X\cup\{\infty\}$ y es fácil comprobar su continuidad y corrección.

Pero estoy atascado probando la condición necesaria. Estaba intentando definir $d(x,\infty):=f(x)+M$ donde $M$ es el límite inferior de $f$ . Pero descubrí que $f$ puede no ser inyectiva y tal definición de distancia no tiene sentido.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Se quiere demostrar que si existe un mapa continuo propio $f : X \rightarrow \mathbb R$ que está acotada por abajo, entonces $X^*$ es metrizable.

De hecho, no necesitamos suponer que $f$ está acotada por debajo, basta con suponer que $f$ es correcto. También tenga en cuenta que si usted tiene $\bar f : X \rightarrow \mathbb R$ entonces $f = \lvert \bar f \rvert$ es propia y acotada por abajo.

Todos $X_n = f^{-1}([-n,n])$ son compactas y $X_n \subset f^{-1}((-(n+1),n+1)) \subset X_{n+1}$ Por lo tanto $X_n \subset \text{int} X_{n+1}$ .

Todos $X_n$ son métricas compactas, por tanto, segundo contable. Por lo tanto, también todos $\text{int} X_n$ son segundos contables y, por tanto, también $X = \bigcup \text{int} X_n$ es segundo contable. Por lo tanto, también $X^*$ es segundo contable (nótese que el $X^* \setminus X_n$ forman una base vecinal de $\infty \in X^*$ ). Por lo tanto $X^*$ es metrizable.