Necesito ayuda para evaluar $\int\limits_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int\limits_{\sqrt{1-x^{2}}}^{x}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dydx$

Question

Tengo esta doble integral $\int\limits_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int\limits_{\sqrt{1-x^{2}}}^{x} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dydx$

He intentado transformar en coordenadas polares utilizando $x = r\cos \theta$ , $y=r\sin\theta$ con $\left | J \right |= r$ . Obteniendo algo como $\int \int \frac{1}{r}rdrd\theta$ pero incapaz de definir los límites superior e inferior de la integral.

¿Alguna ayuda al respecto?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align}\sqrt{1-x^2}\leqslant y\leqslant x&\iff1-x^2\leqslant y^2\leqslant x^2\\&\iff1\leqslant x^2+y^2\leqslant2x^2.\end{align} En coordenadas polares, el último par de inecuaciones se convierte en $$1\leqslant r^2\leqslant2r^2\cos^2\theta.$$ Así que, toma $\theta\in\left[0,\frac\pi4\right]$ de modo que $x,y\geqslant 0$ y que $\cos^2\theta\geqslant\frac12$ . También sabe que $r\geqslant1$ . Pero también sabe que $x\leqslant1$ en otras palabras, $r\leqslant\frac1{\cos\theta}$ . Entonces, calcula $$\int_0^{\pi/4}\int_1^{1/\cos\theta}1\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta.$$

Answer 2

Los límites proceden de las desigualdades $$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{2}} \leqslant x \leqslant 1 \\ \sqrt{1-x^{2}} \leqslant y \leqslant x \end{array}\right\}$$ poniendo coordenadas polares obtenemos $$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{2}} \leqslant r \cos \theta \leqslant 1 \\ \sqrt{1-r^{2}\cos^2 \theta} \leqslant r \sin \theta \leqslant r \cos \theta \end{array}\right\}$$ de la primera línea tenemos dos desigualdades $\frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \leqslant r $ y $ r \leqslant \frac{1}{\cos \theta}$ . La segunda línea da $1 \leqslant r$ y $\sin \theta \leqslant \cos \theta$ . En conjunto tenemos $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int\limits_{1}^{\frac{1}{\cos \theta}}$$

Y, por supuesto, se puede resolver sin coordenadas polares utilizando $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dy=\ln\left(\frac{|y+\sqrt{x^2+y^2}|}{|x|} \right)+C$$ pero, prefiero polar.

Answer 3

Que tienes: $$D_1=\left\{x,y\in\mathbb R\,|\,1/\sqrt{2}\le x\le 1,\wedge\sqrt{1-x^2}\le y\le x\,\right\}$$ sacando esto fíjate que efectivamente es lo mismo que: $$D_2=\left\{0\le x\le 1\,\wedge\,0\le y\le x\right\}/\left\{1/\sqrt{2}\le x\le 1\,\wedge\, 0\le y\le \sqrt{1-x^2}\right\}$$ cuyas dos partes son fáciles de definir en coordenadas polares.

---

La segunda parte será: $$0\le \theta\le\pi/4\,\wedge\,0\le r\le 1$$ Aunque la primera parte puede resolverse con un poco de trigonometría, te lo dejo a ti :)