El concepto del que hablas se suele llamar contabilidad polinómica. En general esto no se cumple, como ha demostrado la respuesta de PVAL. De hecho, creo que se pueden construir ejemplos en los que la función de recuento puede alejarse bastante de ser polinómica, ni siquiera cuasipolinómica como es el ejemplo de PVAL. Creo que puedes encontrar un ejemplo así aquí .
Sin embargo, cuando la función de recuento es un polinomio, entonces su pregunta tiene (al menos conjeturalmente) una respuesta afirmativa.
Consideremos el grupo abeliano libre generado por clases de isomorfismo $[V]$ de variedades sobre $\mathbb{Z}$ . Imponemos la siguiente relación: si $Z \subset V$ es una subvariedad cerrada y $U = V \setminus Z$ entonces $[V] = [U] + [Z]$ . Esto puede verse como una especie de relación de cortar y pegar. Por último, definimos la multiplicación por $[X][Y] = [X \times_\mathbb{Z} Y]$ . Se obtiene un anillo denominado $K_0(\mathcal{V}_\mathbb{Z})$ y llamado anillo de variedades de Grothendieck.
Si $\chi$ es cualquier invariante de variedades valoradas en algún anillo $S$ que satisfaga $\chi(X) = \chi(Y)$ si $X$ y $Y$ son isomorfas, $\chi(V) = \chi(U) + \chi(Z)$ con $U$ y $Z$ como arriba y $\chi(X \times_\mathbb{Z} Y) = \chi(X) \chi(Y)$ entonces $\chi$ se denomina invariante aditivo. No es difícil ver que cualquier invariante aditivo es equivalente a un único homomorfismo de anillo $\chi:K_0(\mathcal{V}_\mathbb{Z}) \to S$ . Algunos ejemplos son la característica topológica de Eulerc $\chi_{top}(X_\mathbb{C})$ y la función de recuento.
Denotemos la clase $[\mathbb{A}^1]$ por $\mathbb{L}$ . He aquí algunos ejemplos de clases de variedades en el anillo de Grothendieck:
$$[\mathbb{A}^n] = \mathbb{L}^n, \enspace \enspace \enspace \mathbb{P}^n = \mathbb{L}^n + \mathbb{L}^{n-1} + \ldots + 1, $$ $$ [\operatorname{GL}_n] = (\mathbb{L}^n - 1)(\mathbb{L}^n - \mathbb{L})\ldots(\mathbb{L}^n - \mathbb{L}^{n-1}) $$
Denotemos por $N(V)$ la función de recuento de $V$ Eso es, $N(V)(q) = \#V_{\mathbb{F}_q}(\mathbb{F}_q)$ donde $q = p^r$ para algún primo $r$ . Entonces $N$ es un invariante aditivo por lo que sólo depende de la clase en $K_0(\mathcal{V}_\mathbb{Z})$ .
Entonces lo que realmente nos interesa es la cuestión de cuándo es $N(V)$ un polinomio, y en este caso, ¿cómo es el grado de $N(V)$ relacionada con la dimensión de $V$ ?
Sabiendo que $N$ es aditiva y conociendo la identidad trivial $N(\mathbb{L}) = q$ lo vemos en todos los ejemplos que he dado anteriormente, $N(V)$ es un polinomio. En términos más generales, cualquier tiempo $[V] = f(\mathbb{L})$ donde $f$ es un polinomio, $N(V)$ es un polinomio en $q$ es decir, el polinomio $f(q)$ . En este caso, el grado de $N(V)$ es la dimensión del mayor espacio afín que aparece en la expresión para $[V]$ .
Si $V$ tiene realmente una descomposición en tales espacios afines, como es el caso en todos los ejemplos que he dado, entonces la dimensión de $V$ será la dimensión del mayor espacio afín, y por tanto el grado de $N(V)$ . ¿Y si $[V] = f(\mathbb{L})$ formalmente en el anillo de Grothendieck pero $V$ no tiene necesariamente una descomposición explícita de cortar y pegar en espacios afines? Entonces todavía estamos bien porque hay invariantes aditivos que pueden elegir la dimensión de una variedad, por ejemplo, el polinomio de Hodge-Deligne. Por lo tanto, la dimensión de $V$ todavía tiene que ser igual a la dimensión del espacio afín más grande en la expresión para $[V]$ es decir, el grado de $f$ y, por tanto, el grado de la función de recuento. Esta es la razón de los ejemplos anteriores. En realidad puedes cortar y pegar explícitamente esas variedades de espacios afines, lo que te da polinomios en $\mathbb{L}$ clases en el anillo de Grothendieck cuyo grado es la dimensión de los mayores espacios afines y, por tanto, la dimensión de sus variedades.
Ahora, ¿qué tal si sabemos que $N(V)$ es un polinomio en $q$ pero no necesariamente que $[V]$ es un polinomio en $\mathbb{L}$ ? Esta es la parte que es sólo conjetural. No estoy seguro de cómo relacionar una función de recuento polinómica directamente con la dimensión sin tener un polinomio en $\mathbb{L}$ . Sin embargo, asumiendo la conjetura de Tate, tenemos que $N(V)$ es polinómico en $q$ sólo si $[V]$ es polinómico en $\mathbb{L}$ . Así que asumiendo la conjetura de Tate, entonces para cualquier variedad $V$ tal que $N(V)$ es un polinomio, el grado de $V$ coincide con el grado de $N(V)$ .
