Valores propios de la matriz y estabilidad

Question

Se trata del equilibrio general:

Supongamos que $x(t)$ representa la producción de todos los sectores y partes de la economía en su conjunto - representada como matriz. Cómo evolucionan los productos $x(t+1)$ viene determinada por la matriz $A$ - $A$ representa la forma en que los resultados anteriores se utilizan como entradas para producir nuevos resultados. $A$ puede decirse que es la tabla de resultados obtenidos a partir de los insumos. $$x(t+1) = A \cdot x(t)$$ Supongamos que todos los sectores/partes de la economía satisfacen la misma tasa de crecimiento de la producción: $$x(t+1) = (1+\alpha) \cdot x(t)$$

También, $$p = (1+\pi) \cdot p \cdot A$$ donde $p$ es el precio de equilibrio, y $\pi$ es la tasa uniforme de beneficio. (La ecuación está diciendo que el coste total de los insumos más el beneficio es el precio total de mercado de los productos).

La primera y la segunda ecuación muestran que $$(A-(1+\alpha) \cdot I) \cdot x(t) = 0$$ donde $I$ es la matriz identidad, y la tercera ecuación implica $$p \cdot (A^{-1} - (1+\pi) \cdot I) = 0$$

La pregunta es, entonces John Blatt y Steve Keen dicen,

para la estabilidad, el mayor valor propio (raíz) de $A$ y $A^{-1}$ m inferior a 1.

y no lo consigo. ¿Por qué $A$ y $A^{-1}$ ¿Necesitas ser así? ¿Está relacionado con la estabilidad del equilibrio? Si es así, ¿alguien puede explicarlo usando cosas de álgebra lineal?

Answer 1

He expresado algunas dudas en un comentario, así que sólo retomaré aquí una parte de la pregunta. Tiene usted $$x(t+1)=Ax(t)$$ de lo que se deduce para $n=0,1,2,\dots$ que $$x(t+n)=A^nx(t)$$ Si el mayor valor propio de $A$ tiene (módulo) $c\gt1$ entonces (se puede demostrar que) las entradas de $A^n$ crecer como $c^n$ es decir, exponencialmente explotan. De ello se deduce que $x(t)$ explota como $t\to\infty$ (letra pequeña: proporcionado $x(0)$ tiene una componente en la dirección del vector propio de $A$ correspondiente al mayor vector propio). Eso, presumiblemente, se considera inestable.