Entrar en el mundo de los formularios modulares

Question

Después de wikipedia una forma modular de peso $k$ para el grupo modular $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ es una función de valor complejo $f$ en el semiplano superior $H = \{z\in\mathbb{C}\colon Im(z)>0\}$ satisfaciendo lo siguiente:

1. $f$ es una función holomorfa en $H$ .

2. Para cualquier $z\in\mathbb{H}$ y cualquier matriz $\begin{bmatrix} a & b\\c & d\end{bmatrix}$ en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , $$f\Big{(} \frac{az+b}{cz+d} \Big{)}=(cz+d)^kf(z)$$

   3. $f$ es necesario que sea holomorfa como $z\rightarrow i\infty$ .

Me estoy iniciando en el mundo de las formas modulares. Tengo preguntas básicas aquí:

(1) En la condición 2, si eliminamos $(cz+d)^k$ entonces la condición dirá que $f$ es invariante bajo $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ y el estudio del objeto invariante bajo cualquier grupo agradable son interesantes siempre; entonces por qué este término $(cz+d)^k$ introducido en segunda condición?

(2) ¿Dónde puedo encontrar el origen de la teoría de las formas modulares?

Answer 1

Las formas modulares son en realidad funciones de celosías en $\mathbb{C}:$ son subgrupos aditivos de la forma $\mathbb{Z}w_1 \oplus \mathbb{Z} w_2$ donde $w_1,w_2 \in \mathbb{C}$ son $\mathbb{R}$ -linealmente independientes. Si sólo nos fijamos en celosías hasta la equivalencia conforme (escalado y rotación), podemos suponer que la celosía viene dada por $$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau, \;\; \tau = \frac{w_2}{w_1} \in \mathbb{H}.$$ Dos $\tau,\tau'$ definen la misma red si y sólo si existe una matriz de cambio de base $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ con $$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \tau' = \mathbb{Z} (c \tau + d) \oplus \mathbb{Z} (a \tau + b).$$

Una función modular de peso $k$ es una función holomorfa $f(\tau) = f(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau) = f(\Lambda)$ que se escala por el factor $C^{-k}$ siempre que $\Lambda$ se reescala por $C$ . En particular, $$f(\tau) = f(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\tau) = f(\mathbb{Z}(c\tau + d) \oplus \mathbb{Z} (a \tau + b)) = (c \tau + d)^{-k} f\Big(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \frac{a \tau + b}{c \tau + d} \Big) = (c \tau + d)^{-k} f\Big( \frac{a \tau + b}{c \tau + d} \Big)$$ para cualquier $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .

Algunas funciones modulares no cambian de este modo al escalar (por ejemplo $k=0$ ). La más famosa es la j-invariante de Klein (sin embargo, no es una forma modular, ya que no es holomorfa como $\mathrm{Im}(\tau) \rightarrow \infty$ ). Sin embargo, los primeros ejemplos de funciones modulares surgen de sumas reticulares relativas a $$\wp(z,\Lambda) = \frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n) \in \Lambda \backslash \{(0,0)\}} \Big( \frac{1}{(z+m+n)^2} - \frac{1}{(m+n)^2} \Big) = \frac{1}{z^2}\Big( 1 + \sum_{n=2}^{\infty} (2n-1) G_{2n}(\Lambda) z^{2n} \Big);$$ claramente $\rho(Cz,C\Lambda) = C^{-2} \rho(z,\Lambda),$ y comparando coeficientes implica que $G_{2n}$ debe escalar $\Lambda$ por $C^{-2n}.$

Esta conexión con los retículos (y por extensión, los cocientes de $\mathbb{C}$ por celosías, que son curvas elípticas) es probablemente la motivación original para estudiar las formas modulares. Desde entonces, la gente ha descubierto muchas otras situaciones sorprendentes en las que surgen.