Casi todas las definiciones de la topología del producto son demasiado "símbolos griegos" para que yo las entienda. Así que ¿podría alguien explicarlo en términos sencillos, preferiblemente cómo obtenemos el $R \times R $ de dos $ R's $ en la topología estándar? Me refiero a cuál es el principio que subyace a la elección de conjuntos de un determinado tipo en $R \times R $ frente a otros en ser los conjuntos abiertos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user254665
Puntos
4075
Sea $p_1:R\times R\to R$ y $p_2:R\times R\to R$ sean las proyecciones de $R\times R\; $ a, respectivamente, la primera y la segunda coordenadas.
Sea $S$ sea el conjunto de todas las topologías de $R \times R$ para lo cual $p_1$ y $p_2$ son continuas.
Sea $T$ ser cualquier miembro de $S.$ Si $U$ es un subconjunto abierto de $R$ entonces $p_1^{-1}U=U\times R \in T.$ Y si $V$ es un subconjunto abierto de $R$ entonces $p_2^{-1}V=R\times V \in T.$ Por lo tanto, si $U,V$ son subconjuntos abiertos de $R$ entonces $U\times V=(U\times R)\cap (R\times V) \in T.$ Así que el conjunto $B=\{U\times V: U,V$ abrir en $R\}$ es un subconjunto de $T.$
$\bullet\;$ $\;B$ es una base para una topología única $T^*$ en $R\times R.$
Así que $T\supset T^*$ para cada $T\in S.$ Observe también que $T^*\in S$ (Porque para $U,V$ abrir en $R$ tenemos $p_1^{-1}U=U\times R\in B\subset T^*$ y $p_2^{-1}V=R\times V\in B\subset T^*.$ )
Así que $T^*$ es la intersección común de todos los miembros de $S,$ y $T^*\in S.$ Así que $T^*$ es la topología más débil de $R\times R$ para lo cual $p_1$ y $p_2$ son continuas. La topología del producto de Tychonoff en $R\times R$ se define como la topología más débil en $R\times R$ para lo cual $p_1$ y $p_2$ son continuas. Así que $T^*$ es la topología del producto.
Observación: Si la primera frase del párrafo anterior no está clara, considere que $\forall T\in S\;(T^*\subset T)\implies T^*\subset \cap S,$ y que $T^*\in S\implies \cap S\subset T^*.$ Así que tenemos $T^*\subset \cap S\subset T^*.$
En términos de métrica, con la métrica habitual $d(x,y)=|x-y|$ en $R,$ podemos utilizarlo para definir diversas métricas sobre $R^2 .$ Por ejemplo $d_1((x,y),(x',y'))=\max (|x-x'|,y-y'|), $ y $d_2((x,y),(x',y'))=|x-x'|+|y-y'|, $ y $d_3((x,y),(x',y'))=\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2}.\; $ Las métricas $ d_1,d_2,d_3 $ son todas topológicamente equivalentes : Cada una genera la topología del producto en $R^2.$
