Al calcular el resolvente del opetador de Laplace beltrami en $S^n$ para una dimensión uniforme, $n=2k$ me encontré con la siguiente integral $$ F(\theta)=\int_{-\theta}^{\theta}{\frac{e^{(i\lambda-\mu)\phi}}{(2\cos \phi-2\cos \theta)^{1/2}} d\phi}, ~ \theta\in(0,\pi) $$ y necesito estimar $(\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta})^kF(\theta)$ . Sé que existe una fórmula similar llamada integral de Mehler $$ P_n(\cos\theta)=\int_{-\theta}^{\theta}{\frac{\cos (n+\frac{1}{2})\phi}{(2\cos \phi-2\cos \theta)^{1/2}} d\phi} $$ Quiero saber si existe una expresión similar para $F(\theta)$ y ¿tenemos una expansión de $F(\theta)$ como $\sum a_k(\theta,\lambda,\mu)e^{(i\lambda-\mu)\theta}$ ? La razón por la que hago la segunda pregunta es que el resolvente en la dimensión impar se puede escribir como tales formas, así que me pregunto si también es el caso en la dimensión par.
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Dennis
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Existe una expresión muy similar en su caso. En realidad, la fórmula 2.5.16.1 del primer volumen de Prudnikov-Brychkov-Marychev da incluso una generalización de un parámetro de lo que necesitas:
$$\int_0^{\theta}\left(\cos\phi-\cos\theta\right)^{\nu-1}\cos b\phi\,d\phi=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\Gamma(\nu)\sin^{\nu-\frac12}\theta \;P^{\frac12-\nu}_{-\frac12+b}(\cos\theta),$$
donde $P_{\lambda}^{\mu}(x)$ denota el Función de Legendre . Queda por establecer $\nu=\frac12$ en lo anterior.
