Estimación del orden del grupo de automorfismo exterior de un grupo simple finito

Question

Se sabe (dado el CFSG) que todos los grupos simples finitos no abelianos tienen grupos de automorfismos externos pequeños. Sin embargo, es bastante tedioso enumerar todas las posibilidades. ¿Alguien conoce una referencia para una afirmación de la siguiente forma?

Sea G un grupo simple finito no abeliano. Entonces |Out(G)| < f(|G|) (donde f es algo sencillo que da una buena idea asintótica del peor caso).

Además, una pregunta relacionada: ¿Hasta qué punto se puede obtener un buen límite en este caso sin utilizar la clasificación? ¿Se puede hacer mucho mejor que los límites que se pueden obtener para el grupo de automorfismo exterior de un grupo finito arbitrario?

Answer 1

Revisar el artículo "Probabilistic generation of wreath products of non-abelian finite simple groups" de Martyn Quick. En la sección 3.1 considera esta cuestión y obtiene $|Out G|\leq |G|/30$ para todo grupo simple finito no abeliano $G$ que era suficiente para sus necesidades.

Answer 2

Puede derivar límites de forma directa a partir de la función Lista completa de grupos simples finitos en Wikipedia que contiene referencias (en particular a ATLAS). Si revisa todos los casos ( Nota: No había comprobado a fondo todos los casos en una versión anterior de esta respuesta, y obtuve un límite erróneo ), se encuentran dos casos peores asintóticamente:

1. $A_2(2^{2k})$ tiene orden $8^{2k}(4^{2k}-1)(8^{2k}-1)/3$ y grupo de automorfismo externo de orden $12k$ para $k \geq 1$ .
2. ${}^2A_2(2^{2k+1})$ (escrito ${}^2A_2(4^{2k+1})$ en Wikipedia) tiene orden $8^{2k+1}(4^{2k+1}-1)(8^{2k+1}+1)/3$ y grupo de automorfismo externo de orden $6(2k+1)$ para $k \geq 1$ .

En ambos casos, la asintótica implica que el grupo de automorfismo exterior tiene un orden no mucho mayor que $6\frac{\log(3|G|)}{\log(2^8)}$ . Los límites óptimos se obtienen tomando $k=1$ y en el primer caso se obtiene una función ligeramente mayor, a saber $6 \frac{\log (2^{10}|G|/315)}{\log 2^8}$ . Este es un límite superior para todos los grupos simples no abelianos, y es agudo para $A_2(4)$ .

En cuanto a tu última pregunta, este límite es mucho mejor que el que se obtiene para los grupos finitos en general. Por ejemplo, el grupo abeliano elemental $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ tiene orden $2^n$ pero su grupo de automorfismo exterior es $GL_n(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ que tiene orden $\prod_{k=0}^{n-1} (2^n-2^k)$ . En otras palabras, un grupo de orden $m$ puede tener un grupo de automorfismo externo de tamaño alrededor de $m^{\log m}$ en lugar de $\log m$ .

Answer 3

Recomiendo enumerar todas las posibilidades. Varias fuentes ya lo hacen, así que es bastante fácil volver a hacerlo; la tabla del ATLAS es bastante razonable. Básicamente, el grupo de automorfismo exterior es ridículamente pequeño "la mayoría" de las veces, así que puede que te importen los detalles.

Creo que obtendrás |Out(G)| ≤ C*log(|G|) como peor caso, pero esto es bastante pesimista la mayoría de las veces.

El grupo de automorfismo exterior de un grupo alterno tiene como máximo orden 4, y casi siempre tiene orden 2. Hay finitamente muchos grupos esporádicos, y por lo tanto no importará asintóticamente, pero usted puede comprobar rápidamente sobre la lista para ver que tienen salidas de tamaño a lo sumo 2.

Los grupos de tipo Lie tienen un grupo de automorfismo externo de 3 partes; la diagonal, el campo y las partes del diagrama. La parte diagonal tiene un orden máximo de 6 (y sólo para D4). La parte de campo es cíclica, pero puede ser "grande", es decir, si "q" de su grupo es p^f, entonces es cíclico de orden f. La parte diagonal es normalmente pequeña (orden 4 como máximo, o incluso orden 2 como máximo), pero puede ser mayor para PSL(n,q) y PSU(n,q). Incluso en estos casos es cíclica de orden n como máximo.

Así que básicamente se maneja el caso de PSL/PSU con un poco más de cuidado, a continuación, el caso de un grupo general de tipo Lie utilizando límites de 4 y 6 para la diagonal y el diagrama para obtener algo así como O(log(|G|)), a continuación, se maneja el resto que están limitados por una constante.

Answer 4

No es difícil demostrar $|\mathrm{Out}(T)|\leqslant \log_p|T|$ cuando $T=L(q)$ es un grupo simple de Lie de característica $p$ . (Se utilizan fórmulas para $|\mathrm{Out}(T)|=dfg$ y para $|T|$ para diferentes grupos Chevalley. La demostración es algo tediosa pero sencilla). El límite $|\mathrm{Out}(T)|\leqslant\lfloor \log_8(\frac{16|T|}{15})\rfloor$ (aunque más nítida cuando $p=2$ ) tiene excepciones como $\textsf{A}_1(9)$ , $^2\textsf{A}_2(5)$ , $^2\textsf{A}_2(8)$ . Para $T=\textsf{A}_n(q), {}^2\textsf{A}_n(q)$ se puede demostrar $|\mathrm{Out}(T)|=\frac{2\log_p|T|}{n}$ es cierto.

Answer 5

El orden de un grupo simple finito no abeliano de orden $n$ está limitada por $_2\log(n)$ y este límite es agudo en el sentido de que no puede ser mejorar en más de un pequeño factor constante. Véase Limitación del orden del grupo de automorfismo exterior de un grupo simple finito de orden dado . (Ese preprint mío de 2003 nunca llegó a publicarse en una revista porque son sólo 2 páginas de cálculo rutinario).