¿Cómo podría un camino ser homotópico a un punto

Question

He estado siguiendo la Intoducción al Análisis Complejo a Nivel de Postgrado de Serge Lang y me encontré con este teorema. Quiero preguntar qué significa que una función sea homotópica a un punto. Sólo estoy familiarizado con los caminos que son homotópicos entre sí, pero no a un punto. He aquí el extracto

Si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto se lo agradeceré mucho.

Answer 1

A homotopía de trayectorias $f\to g$ es una homotopía $H=H(x,t)$ tal que $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x).$ Un camino $f$ es homotópico a un punto $c$ si es un camino homotópico al camino constante $c(x)=c$ para cada $x.$

Veamos este ejemplo $f(x)=(\sin x,\cos x)$ sea la trayectoria que traza el círculo unitario en $\mathbb R^2$ . Entonces la homotopía de trayectoria $H(x,t)= tf(x)$ tiene $H(x,1)=f(x)$ y $H(x,0)=0$ para cada $x.$ De ello se deduce que $f$ es homotópico al punto $0$ ya que es homotópica a la trayectoria constante en $0.$