Los paralelismos entre las fórmulas del cálculo de Schubert y de la teoría de las representaciones de los grupos simétricos (par Geissinger-Zelevinsky) son tan evidentes (por ejemplo, la fórmula de Giambelli), que cabe preguntarse cómo definir directamente la co-multiplicación en las (co)células de Schubert.
Respuesta
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Si estás hablando de Grassmannianos, entonces puedes usar los mapas de suma directa
$Grass(k,n) \times Grass(k',n') \to Grass(k+k', n+n')$
para obtener la comulgación. Esto induce un mapa en cohomología en el otro sentido. Entonces tomamos el límite como $n,n' \to \infty$ y luego tomar el límite $k,k' \to \infty$ . Esto soluciona dos problemas: 1) los Grassmannianos no son iguales en el caso finito, y 2) los valores de $k,n$ etc. dan truncamientos del anillo de funciones simétricas, por lo que hay que eliminar esa restricción.
Según ¿Los polinomas simétricos son álgebras de Hopf? ¿ Para qué se necesita un coproducto ? la bialgebra es suficiente para obtener toda la estructura de Hopf.
La positividad (para obtener la estructura del álgebra PSH) se deduce de consideraciones geométricas (es decir, todos los coeficientes de la estructura son números de intersección).
