La pregunta es autocontenida teoría de grupos finitos, pero la motivación requiere más antecedentes.
Los grupos finitos que me interesan son los grupos $Sp(n,F_3)$ . Para $n$ incluso estos son los grupos simplécticos habituales sobre el campo con tres elementos. Para $n$ impar son los grupos simplécticos impar. Estos son un producto semidirecto de un grupo simpléctico con un grupo de Heisenberg y tenemos una secuencia de subgrupos $Sp(n,F_3)\rightarrow Sp(n+1,F_3)$ .
Consideremos una de estas inclusiones y veamos la inducción/restricción de representaciones complejas irreducibles. Mi pregunta es: toma una representación irreducible del subgrupo e induce. ¿Es esta representación una suma directa de representaciones irreducibles no isomorfas por pares (a veces esto se llama libre de multiplicidad)?
Puedo demostrarlo por $n$ incluso porque las representaciones irreducibles de $Sp(2m+1,F_3)$ puede construirse utilizando la teoría de Clifford (conocida por los físicos como teoría de Mackey). Puedo utilizar el ordenador para pequeños $n$ . Así que mi pregunta es realmente para $n$ impar.
Puedo dar más información que insinúe mi interés. Definir una secuencia de grupos $G(n)$ por una secuencia de presentaciones finitas de modo que tenemos homomorfismos suryectos $B(n)\rightarrow G(n)$ donde $B(n)$ es el grupo trenzado habitual. Tomemos los generadores $\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}$ y las relaciones Artin. Además $\sigma_i^3$ y para $n\ge 5$ toma $(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}=1$ . Entonces tenemos $G(n)=Sp(n-1,F_3)$ .
Entonces también tenemos $G(n)\times G(m)\rightarrow G(n+m)$ compatible con $B(n)\times B(m)\rightarrow B(n+m)$ . Esto es similar a los grupos simétricos.
Soy consciente de que esta pregunta puede generalizarse. Me he limitado deliberadamente a un ejemplo sencillo porque me gustaría tener un caso totalmente resuelto antes de generalizar. Si tienes una prueba de lo anterior y tu prueba se generaliza, ¡eso es diferente!
