¿Son funciones que asignan conjuntos densos a densos conjuntos de continuo?

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son espacios métricos separables y que $f:X\rightarrow Y$ es una función biyectiva que asigna a cada conjunto denso contable de $X$ a un conjunto denso de $Y$.

¿Son necesariamente continuas funciones con esta propiedad?

¿Si no es así, si el $g:X\rightarrow Y$ es biyectiva y Borel obtenemos esa propiedad (mapa de conjuntos densos a densos conjuntos)?

Gracias por cualquier información.

Answer 1

Considere la función $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ definido por

$$f(x)=\begin{cases}x & x\neq 1,2 \\ 2 &x=1\\ 1 &x=2\end{casos}.$$

Que es $f$ es la identidad, salvo que swaps $1$$2$. A continuación, $f$ es Borel y bijective y mapas contables densos conjuntos contables densos conjuntos, ya que si $D \subset \mathbb R$ es un subconjunto denso y $x \in D$ $D\setminus \{x\}$ también es denso.

Edit: leí mal tu segunda pregunta. Creo que podemos hacer un mapa en el que se mete con los racionales y es todavía Borel. Deje $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ ser la identidad en el irrationals. Deje $g$ mapa de la negativa racionales a sí mismos y dejar que $g$ enviar $\mathbb N$ a la positiva no enteros, racionales y enviar el positivo no enteros, racionales a $\mathbb N$. A continuación, $g$ todavía debe ser Borel, sino $\mathbb Q \setminus \mathbb N$ es una contables subconjunto denso cuya imagen no es denso en $g$.