El Chern personaje es a menudo visto como acaba de ser una manera conveniente de obtener un anillo homomorphism de K-teoría (ordinario) cohomology.
La mayoría de la definición habitual en ese caso parece ser sólo para definir el Chern carácter en una línea bundle como $\mathrm{ch}(L) = \exp(c_1(L))$ y, a continuación, extender esta; a continuación, por ejemplo, $\mathrm{ch}(L_1 \otimes L_2) = \exp(c_1(L_1 \otimes L_2)) = \exp(c_1(L_1) + c_2(L_2)) = \mathrm{ch}(L_1) \mathrm{ch}(L_2)$; a continuación, podemos utilizar esta opción para definir un Chern carácter general vector de paquetes.
Todo esto parece un poco ad-hoc, y no dan mucha idea de por qué tal cosa existe de todos modos.
Una explicación que me gustan mucho mejor viene de complejos orientados a la cohomology teorías. Dado un complejo orientado periódico cohomology teoría, tales como la K-teoría o periódico (ordinario) cohomology, tenemos $H(\mathbb{CP}^\infty) \cong H(P)[[t]]$ para $P$ un punto. Viendo como $\mathbb{CP}^\infty$ es la clasificación de espacio para la línea de paquetes, esto nos da una manera de tener "generalizado de las clases de Chern" para cualquier línea de paquete correspondiente a cualquier cohomology de la teoría, e incluso para cualquier vector paquete.
Tenemos un vínculo entre el complejo orientado periódico cohomology de teorías y de grupo formal de las leyes, corresponde a lo que corresponde a $c_1(L_1 \otimes L_2)$ en $\mathbb{CP}^\infty$: para el común de los cohomology, como en el anterior, obtenemos que $c_1(L_1 \otimes L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2)$ que da el aditivo grupo formal de la ley, y para la K-teoría nos dan $c_1(L_1 \otimes L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2) + c_1(L_1) c_2(L_2)$, que es el multiplicativo grupo formal de la ley. El hecho de que más de $\mathbb{Q}$ (pero no más de $\mathbb{Z}$) existe un isomorfismo entre el grupo formal de las leyes dadas por el mapa exponencial, y esto se refleja en el cohomology, dando la Chern carácter $K(X) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} \a \prod_n H^{2n}(X,\mathbb{Q})$.
No estoy demasiado seguro de lo que la formulación exacta en que el segundo caso es, pero lo más importante es que me preguntaba si hay alguna otra, limpiador de interpretaciones de la Chern carácter (he estado oyendo acerca generalizada de Chern personajes, y no tengo idea de donde proviene en este caso). Parece que debería haber una manera de vincular el Chern carácter a las cosas, como el género de una secuencia multiplicativa, y el empate con otras ideas similares, por ejemplo, la Todd de género o de la L-género dado por similares de poder formal de la serie. Supongo que el problema es que yo no veo cómo estas ideas que caben todos juntos.
