Si tienes un sistema de ecuaciones lineales, la solución es donde las ecuaciones se intersectan
Usando la reducción de filas obtienes un sistema de ecuaciones lineales que aún satisface la intersección
¿Por qué se utilizan variables libres?
Los valores en los que puede estar la variable libre están limitados en un rango como si la solución fuera una línea y no un plano
Entonces, ¿cuál es el punto de escribir las soluciones como un conjunto de adiciones de vectores usando variables libres?
Si z en este caso es una variable libre, escribiendo la solución en una ecuación vectorial
Donde "," denota una nueva fila
Resolviendo para las variables pivote x y y y escribiéndolas en forma de vector descompuesto
[x,y] = [4,0] - [0,3] + z[1,2]
Se dice que Z puede ser cualquier número real z∈R. Pero al mirar el gráfico, cuando z = 4, y = 11/8 no está en la línea de intersección. Entonces, ¿por qué dicen que z es una variable libre cuando no lo es?
Verde = eje y Rojo = eje x Graficado
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Tienes razón, no está en la línea, pero tampoco es $11/8$ lo que obtienes para la coordenada $y$ al sustituir $z=4$ en la fórmula inmediatamente anterior, así que no hay razón para esperar que lo sea.
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"¿Por qué se utilizan variables libres?" Tu observación de que "la solución es donde las ecuaciones se intersecan" es la clave. Si piensas en dos planos en $\mathbb{R}^3$, generalmente se intersecan en una línea (a menos que los planos sean paralelos o coincidentes). Por lo tanto, intuitivamente, tendremos una variable libre, porque una línea está determinada por una variable.