Demuestre que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $f(x)=0$ si $x\leq 0$ y $f(x)=x+1$ si $x>0$ no es abierta, ni cerrada, ni continua.

Question

Estoy tratando de probar esto:

Demuestre que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $f(x)=0$ si $x\leq 0$ y $f(x)=x+1$ si $x>0$ no es abierta, ni cerrada, ni continua.

Mi intento:

No abierto : Tomamos el intervalo abierto en la topología habitual sobre $\mathbb{R}$ (-2,-1). Entonces, $f((-2,-1))=\{0\}$ que está cerrado, por lo que $f$ no está abierto.

No cerrado : Tomamos el intervalo cerrado en la topología habitual sobre $\mathbb{R}$ [-2,2]. Entonces, $f([-2,2])=\{0\}\cup(1,3]$ que no está cerrado, por lo que $f$ no está cerrado.

No continua : He estado intentando pero no soy capaz de encontrar un intervalo abierto en la imagen de $f$ que mapea utilizando $\ f^{-1}$ a un intervalo no abierto.

¿Puede alguien iluminarme con esto? Se lo agradecería mucho. ¿Es correcto mi intento al menos hasta que me he atascado?

EDIT: Sólo tengo la definición que $f$ es continua si y sólo si todo intervalo abierto en el sentido de una topología de $\mathbb{R}$ va, por $f^{-1}$ a un intervalo abierto.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Si haces un dibujo verás fácilmente que el único punto de discontinuidad es $x=0$ . Así que tienes que probar allí.

Mira, por ejemplo $(-1, 3)$

Los dos primeros puntos están bien.

Answer 2

Es posible demostrar que una función $g:A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ si, y sólo si, $\lim_{x\to x_0} g(x) = g(x_0)$ . Teniendo en cuenta lo anterior $f$ tenemos $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1 \neq 0 = f(0)$ . Por lo tanto, $f$ no es continua en $0$ .