¿Es un problema de expectativas? ¿O es más complejo?

Question

La siguiente pregunta está sacada de una hoja de repaso de probabilidad/estadística:

Cada día un profesor sale de su casa por la mañana y camina hasta su oficina. Todas las tardes vuelve a casa. Sólo se lleva el paraguas si llueve. Si llueve y no tiene el paraguas (en casa o en el despacho), tiene que caminar bajo la lluvia.

Supongamos que llueve con probabilidad $\frac{1}{3}$ al comienzo de cualquier viaje independientemente de todos los demás viajes. Demuestre que $\frac{63}{16}$ $\approx$ 4 es el número esperado de días hasta que el profesor deba caminar bajo la lluvia sin su paraguas (ya sea esa mañana o esa tarde), suponiendo que inicialmente tenga su paraguas consigo en casa.

He aquí una pista que me dieron: Deja $$ es el número esperado de días suponiendo que inicialmente tienen su paraguas en casa, y que $v$ sea el número de días previsto suponiendo que no lo hagan. Explique por qué $$ = \frac{2}{9} + \frac{5}{9}(1-) + \frac{2}{9}$$ y luego, de forma similar, encontrar una ecuación para $v$ en términos de $$ . Utiliza estas ecuaciones para resolver $$ .

Mis pensamientos:

A primera vista me parece que esto podría hacerse con la fórmula de expectativas, pero dados los detalles, no estoy seguro de cómo estructurar un diario $\frac{1}{3}$ probabilidad de que llueva hasta que el profesor no tenga un paraguas a mano. ¿Tendría que llevar la cuenta de dónde estaría el paraguas en función de la probabilidad de que llueva en los viajes de días diferentes?

Supongo que desde $v$ y $$ son cada uno un cálculo de cantidad de días esperados, uno con y otro sin el paraguas, ¿quizás la suma de estas expectativas sumaría 1, ya que estos son los dos únicos estados en los que el profesor podría empezar? También supongo que esta relación sería la forma de calcular $v$ en términos de $$ .

Answer 1

Sigue la pista. En el caso inicial, con probabilidad $1/3$ llueve, el profesor coge el paraguas, y con probabilidad $2/3$ no llueve cuando llega la hora de que el profesor regrese a casa. Así que con probabilidad $2/9$ el profesor no ha caminado bajo la lluvia pero el paraguas está en la oficina.

Del mismo modo, con probabilidad $1/9$ ha llovido tanto a la ida como a la vuelta del trabajo y el paraguas ha hecho un viaje de ida y vuelta.

Con probabilidad $2/9$ no llovió de camino al trabajo, pero sí a la vuelta, lo que significa que el profesor se mojó.

Con probabilidad $4/9$ En cualquier caso, no llovió y el profesor está de vuelta en casa.

Podemos resumirlo en una tabla para el viaje de ida y vuelta: $$\begin{array}{ccccc} \text{Umbrella} & \text{Rain} & \text{Got wet} & \text{Probability} \\ \hline \text{Office} & \text{Yes, No} & \text{No} & 2/9 \\ \text{Home} & \text{Yes, Yes} & \text{No} & 1/9 \\ \text{Home} & \text{No, Yes} & \text{Yes} & 2/9 \\ \text{Home} & \text{No, No} & \text{No} & 4/9 \\ \end{array}$$

Por lo tanto, con probabilidad $5/9$ , hemos vuelto al estado inicial (no mojado, paraguas en casa), salvo que ha pasado un día. Por lo tanto, el número esperado de días adicionales hasta mojarse sigue siendo $\mu$ . Con probabilidad $2/9$ El profesor se mojó ese día. Con probabilidad $2/9$ El profesor ha sobrevivido un día, pero ahora el paraguas está en la oficina. Desde $v$ representa el número esperado de días hasta mojarse cuando el profesor está en casa pero el paraguas no, resumimos el número esperado de días hasta mojarse es $$\mu = \frac{5}{9}(1 + \mu) + \frac{2}{9}(1) + \frac{2}{9}(1 + v).$$

Ahora para $v$ suponemos que el profesor empieza el día en casa pero el paraguas está en la oficina. Entonces, con probabilidad $1/3$ el profesor debe caminar bajo la lluvia para ir a trabajar. Con probabilidad $2/9$ El profesor llega a la oficina y se lleva el paraguas a casa porque llueve a la hora de irse. Con probabilidad $4/9$ En este caso, no llueve en absoluto y el profesor sobrevive un día, pero vuelve al estado en el que no está el paraguas. Entonces, ¿el número esperado de días hasta mojarse en este caso es...? No he dado la fórmula para que puedas hacer el resto.