¿Por qué es $\mathbb{Z}[X]$ ¿no es un dominio euclidiano? ¿Qué ocurre con la función de grado?

Question

Sé que $K[X]$ es un dominio euclidiano pero $\mathbb{Z}[X]$ no lo es.

Entiendo esto, si considero el ideal $\langle X,2 \rangle$ que es un ideal principal de $K[X]$ pero no de $\mathbb{Z}[X]$ . Así que $\mathbb{Z}[X]$ no es un dominio ideal principal y por tanto no es un dominio euclidiano.

Pero no entiendo esto, si considero la definición de dominios euclidianos. Básicamente, un dominio euclidiano es un anillo en el que puedo hacer la división con restos. Para los anillos de polinomios, la función euclidiana debería ser el grado de los polinomios. ¿Cuál es la diferencia crucial entre $K[X]$ y $\mathbb{Z}[X]$ con respecto a esto?

Ya hice ejercicios de división de polinomios en $\mathbb{Z}[X]$ Así que claramente debo estar perdiendo algo aquí.

Answer 1

Intenta dividir algo así como $x+1$ por $2x+1$ . Si se tratara de un dominio euclidiano, deberías poder escribir $x+1=q(x)(2x+1) + r(x)$ donde $r(x)$ tiene que tener grado 0. Se puede ver por qué no es posible hacer esto mirando el coeficiente en el $x$ término, ya que $2$ no es invertible en $\mathbb{Z}$

Answer 2

En $K[x]$ la razón por la que las cosas van bien es porque cada elemento no nulo en $K$ es invertible ( $K$ siendo un campo). Así que podemos tener $$a(x)=b(x)q(x)+r(x) \qquad \text{ with } \qquad 0 \leq \text{deg}r(x) < \text{deg}b(x).$$

Pero uno de los problemas para ejecutar esto en $\mathbb{Z}[x]$ es que, a menos que el polinomio sea mónico, es posible que no se cumpla la desigualdad de grado ( que es uno de los requisitos de la función Norma Euclidiana ). Por ejemplo, si se intenta realizar la división con $a(x)=x+1$ y $b(x)=2x$ entonces no se puede tener el grado del resto menor que $1$ . Por tanto, no cumple las condiciones requeridas de un dominio euclidiano.

Answer 3

Intenta realizar una división con resto entre $X$ y $2$ en $\mathbb Z[X]$ .

Answer 4

Suponga que tiene un dominio euclidiano. Afirmo que cualquier elemento $x$ con $\deg x = 0$ debería ser invertible. En efecto, la afirmación del algoritmo de la división da que puedo escribir $1 = qx + r$ con $r = 0$ o $\deg r < \deg x$ . Esto último es imposible si el grado es $0$ Así que $r = 0$ y por lo tanto $qx = 1$ , lo que significa que es una unidad.

Por tanto, el obstáculo explícito es que hay enteros de grado 0 que no son invertibles en el anillo de polinomios.

De hecho, dejemos que $R$ sea un dominio integral y consideremos el anillo $R[x]$ con la función de grado. Entonces, si $R[x]$ fuera un dominio euclidiano bajo la función de grado, cada $r \neq 0 \in R$ sería invertible en $R[x]$ pero como $R$ es un dominio integral es fácil ver que esto no puede ocurrir sin $r$ siendo invertible en $R$ . Así que $R$ es un campo.

Answer 5

Tome los dos polinomios de $\mathbb{Z}[X]$ , $P(X)=X^2+1$ y $Q(X)=2X$ y tratar de realizar la división manteniendo los coeficientes enteros.

Puedes ver que la obstrucción proviene de elementos no invertibles del anillo $\mathbb{Z}$