Resolución de problemas de ecuaciones trigonométricas

Question

Estoy un poco atascado para resolver los siguientes problemas a continuación

Problema: 4cos²2x+sin2x=3 (0 < x <= )

Pasos:

4cos²2x+sin2x=3

2+2cos4x+sin2x=3

2cos4x+sin2x=1

2(1-2sin²2x)+sinx=1

2-4sin²2x+sinx=1

Llevar cada término a la derecha

0= 1-2+4sin²2x-sinx

4sin²2x-sinx-1=0

Sea M= sen2x, sen

4m²-m-1=0

X=+0,64 , x=-0,39

Answer 1

Lo has hecho: $$4\cos^2(2x)+\sin(2x) = 3$$

Utilice $\cos^2(2x) = 1-\sin^2(2x)$ entonces:

$$4(1-\sin^2(2x))+\sin(2x) = 3\implies4-4\sin^2(2x) + \sin(2x) = 3\implies\\1+\sin(2x)-4\sin^2(2x) = 0$$

que tiene raíces:

$$\sin(2x) = \frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\\\sin(2x) = \frac{1}{8}(1+\sqrt{17})$$

Para las primeras ecuaciones:

$$\sin(2x) = \frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\implies \sin^{-1}\sin(2x) = \sin^{-1}\frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\implies \\2x = \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\right)\implies x = \frac{\sin^{-1}\left(\frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\right)}{2}$$ Pero también hay otra solución en el otro cuadrante tal que:

$$2x = \pi - \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\right)\implies\\x = \frac{\pi}{2}-\frac{\sin^{-1}\left(\frac{1}{8}(1-\sqrt{17})\right)}{2}$$

Hay que hacer lo mismo para la segunda raíz:

$$\sin(2x) = \frac{1}{8}(1+\sqrt{17})$$

Y entonces tienes la respuesta