Para demostrar que $a_n$ es convergente, veremos que $a_n$ es Cauchy. Llamemos $f(x)=e^{-x}$ que satisface:
- $f$ es derivable.
- $f([\frac1e,1])\subset [\frac1e,1]$ .
Utilizando el teorema del valor medio, tenemos, para cada $a,b\in [\frac1e,1]$ :
$$|f(b)-f(a)|=|f'(c)|\cdot|b-a| \leq \rho |b-a|$$
como $f'(x)=-e^{-x}$ tiene su mínimo $\rho$ en $x=\frac1e$ y es $\rho \approx 0.7$ . Para $a=a_n, \ b=f(a_n)=a_{n+1}$ significa:
$$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq \rho|a_{n+1}-a_n| \ \forall n\geq 1\qquad (1)$$
Ahora, es fácil demostrar que $a_n$ es Cauchy, por lo que es convergente. Obsérvese que, a partir de (1), obtenemos que $$|a_3-a_2| \leq \rho |a_2-a_1|$$ $$|a_4-a_3| \leq \rho |a_3-a_2|\leq\rho^2 |a_2-a_1|$$ y en general: $$|a_{n+1}-a_{n}| \leq \rho^{n-1} |a_2-a_1| $$ Para demostrar que $a_n$ es Cauchy, elige $n,m\in \mathbb N$ . Tenemos:
\begin{equation} \begin{split} |a_{n+m}-a_n|&=|a_{n+m}-a_{n+m-1}+a_{n+m-1}-\dots+a_{n+1}-a_n|\leq \\ &\leq |a_{n+m}-a_{n+m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n| \leq \\ &\leq (\rho^{n+m-2}+\rho^{n+m-3}+\cdots+\rho^{n-1})|a_2-a_1| \end{split} \end{equation}
y ahora, usando eso $\rho <1$ para la última desigualdad:
$$\rho^{n+m-2}+\rho^{n+m-3}+\cdots+\rho^{n-1} = \frac{\rho^{n-1}-\rho^{n-m-1}}{1-\rho}=\frac{\rho^{n-1}}{1-\rho}(1-\rho^{m-1}) \leq \frac{\rho^{n-1}}{1-\rho}$$
Al final, $$|a_{n+m}-a_n|\leq \frac{\rho^{n-1}}{1-\rho} |a_2-a_1|$$ y, como $n\to+\infty$ , $\rho^n \to 0$ porque $\rho<1$ Así que $|a_{n+m}-a_n|\to 0$ .
Ahora, para el límite, como $L=\lim_n a_n$ también tenemos $$\lim_n a_{n+1}=L$$ porque es una subsecuencia de $a_n$ . Ahora, tenga en cuenta que $a_{n+1}= f(a_n)$ por lo que podemos escribir $$L=\lim_n a_n=\lim_n a_{n+1} = \lim_n f(a_n) = f(\lim_n a_n)=f(L)$$ así que $L$ tiene que verificar $L=e^{-L}$ . Como has demostrado que sólo hay un número real que satisfaga esto, entonces $L=c$ .
