La respuesta es: no existe tal cosa. He aquí un argumento aproximado (una prueba completa merecería un poco más de cuidado).
Utilizando el resultado principal de
S. Schwede, La categoría de homotopía estable es rígida Annals of Mathematics 166 (2007), 837-863
su pregunta es equivalente a la siguiente: ¿existe una categoría modelo $C$ que es aditivo, y tal que $C$ es Equivalente de Quillen a la categoría de modelo habitual de los espectros?
En particular, podríamos preguntarnos: ¿existe una categoría aditiva $C$ dotado de una estructura de categoría de modelo estable de Quillen, tal que el correspondiente modelo estable $(\infty,1)$ -es equivalente a la categoría estable $(\infty,1)$ -¿categoría de espectros?
Sustitución de $C$ por su subcategoría completa de objetos cofibrantes, su pregunta podría reformularse como: ¿existe una categoría de objetos cofibrantes $C$ (en el sentido de Ken Brown ), con sumas pequeñas (y tales que las equivalencias débiles son cerradas bajo sumas pequeñas), y tales que las correspondientes $(\infty,1)$ -(obtenida invirtiendo la equivalencia débil de $C$ en el sentido de $(\infty,1)$ -) es equivalente a la estable $(\infty,1)$ -¿categoría de espectros? Si la respuesta es no, entonces no habrá categoría de modelo aditivo $C$ tal que $Ho(C)$ es (equivalente a) la categoría de espectros (como categoría triangulada).
Entonces, supongamos que existe una categoría aditiva de objetos cofibrantes $C$ con sumas pequeñas, tales que $Ho(C)$ es (equivalente a) la categoría $S$ de espectros (como categoría triangulada). Sea $C_f$ sea la subcategoría completa de $C$ abarcada por los objetos que corresponden a espectros finitos en $S$ . Entonces $Ho(C_f)\simeq S_f$ donde, por abuso de notaciones, $Ho(C_f)$ es el $(\infty,1)$ -categoría obtenida a partir de $C_f$ mediante la inversión de equivalencias débiles, mientras que $S_f$ representa el establo $(\infty,1)$ -de espectros finitos (esencialmente la categoría Spanier-Whitehead de complejos CW finitos). Dada cualquier categoría aditiva (esencialmente) pequeña $A$ denotado por $K(A)$ el "derivado $(\infty,1)$ -categoría de $A$ "(es decir, el $(\infty,1)$ -obtenida a partir de la categoría de complejos acotados de $A$ invirtiendo las equivalencias de homotopía de cadena). Entonces, el funtor canónico $A\to K(A)$ (que envía un objeto $X$ a sí mismo, visto como un complejo concentrado en grado $0$ ), tiene la siguiente propiedad universal: dada una estable $(\infty,1)$ -categoría $T$ cualquier functor $A\to T$ que envía secuencias exactas cortas divididas de $A$ a triángulos distinguidos (también conocidos como secuencias de cofibras homotópicas) en $T$ se extiende unívocamente en un functor finito preservador del colímite $K(A)\to T$ . En particular, el functor $C_f\to Ho(C_f)\simeq S_f$ se extiende unívocamente a un functor finito preservador del colímite $F:K(C_f)\to S_f$ . Sea $Ker(F)$ ser el $(\infty,1)$ -subcategoría de $K(C_f)$ abarcada por objetos que se envían a cero en $S_f$ . Entonces el funtor inducido $$K(C_f)/Ker(F)\to S_f$$ es una equivalencia de (estable) $(\infty,1)$ -categorías (para ver esto, puede utilizar la propiedad universal de $S_f$ dado un $(\infty,1)$ -categoría $T$ un funtor finito preservador del colímite $S_f\to T$ es lo mismo que un objeto de $T$ ; véase el Corolario 10.16 en DAG I ). Esto implica que, para cualquier objeto $X$ de $S_f$ si $X/n$ denota el cono del mapa $n:X\to X$ (multiplicación por un número entero $n$ ), entonces $n.X/n\simeq 0$ (véase la Proposición 1 del artículo de Schwede Categorías trianguladas algebraicas frente a topológicas ). Pero se sabe que tal propiedad falla siempre que $X$ es un espectro finito para $n=2$ (véase la Proposición 2 en loc. cit. ). Por lo tanto, no existe tal $C$ ...
