Mecánica clásica: Relación entre la velocidad general y la función de potencial general para el potencial dependiente de la velocidad

Question

Cómo se obtiene la fuerza general a partir del potencial general para un potencial dependiente de la velocidad $U = U(q_j,\dot{q_j})$ ? $$Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\frac{\partial U}{\partial \dot{q_j}}). \tag{1}$$

Lo que yo entiendo

1. En un campo vectorial conservativo, la fuerza podría encontrarse a través del gradiente del potencial escalar, es decir. $F = -\nabla V$ .
2. La fuerza general en potenciales no dependientes de la velocidad viene dada por $Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j}$ de forma similar a la del punto 1, donde $V$ es un campo vectorial conservativo, $Q_j$ es la fuerza general y $q_j$ una coordenada general.

Mi intento de derivar la Ecn. (1)

1. Recordemos que el potencial general es función de la coordenada general y de la velocidad general, $U = U(q_j,\dot{q_j})$

2. Solicitar $Q_j = -\nabla U$ y obtener $$ \begin{aligned} Q_j &= -\nabla U(q_j,\dot{q_j})\\ &=-(\frac{\partial}{\partial q_j}+\frac{\partial}{\partial \dot{q_j}})U(q_j,\dot q_j)\\ &=-\frac{\partial U}{\partial q_j}-\frac{\partial U}{\partial \dot q_j} \end{aligned} \tag{2} $$ donde el segundo término en R.H.S. no coincide con la Ecn. (1)

Mi pregunta

1. ¿Qué cosas o conceptos me faltan?
2. ¿Cómo se obtiene la Ecuación (1)?
3. ¿Cómo entender de forma intuitiva/física el segundo término de R.H.S. en la Ecuación (1)?

Answer 1

• 1 y 2: La ecuación (1) no se deriva. Es una propiedad definitoria de un potencial generalizado dependiente de la velocidad.

• 3. La forma de la ec. (1) imita al operador de Euler-Lagrange, de modo que podemos traer Ecuaciones de Lagrange $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~Q_j, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}, \tag{L}$$ en forma de Ecuaciones de Euler-Lagrange $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}~=~0, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}. \tag{EL}$$

Answer 2

Partamos de la forma general de las ecuaciones de Euler-Lagrange para una curva (trataré todo este tema en coordenadas locales aunque son posibles aproximaciones globales) $$\mathbb{R} \ni t \mapsto (t, q(t), \dot{q}(t)) \in \mathbb{R}^{2n+1}$$ $$\left.\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T|_R(t, q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\right)\right|_{(t,q(t),\dot{q}(t)} - \left.\frac{\partial T|_R(t,q,\dot{q})}{\partial q^k}\right|_{(t,q(t),\dot{q}(t)} = Q_k|_R(t,q(t), \dot{q}(t))\quad \mbox{where}\quad \frac{dq^k}{dt} = \dot{q}^k\:, \quad k=1,\ldots, n\:.\tag{1}$$ Arriba, $T|_R$ es la energía cinética del sistema con respecto a un sistema de referencia fijo $R$ escrito en función del $n$ Coordenadas lagrangianas $q^k$ y sus derivadas temporales formales $\dot{q}^k$ una vez que hayamos ``resuelto'' lo posible (ideal) $c$ restricciones sobre las configuraciones del sistema físico formado por, digamos $N$ puntos materiales, de modo que $n= 3N-c$ .

Las funciones conocidas $Q_k(t,q, \dot{q})$ se obtienen a partir de las fuerzas que actúan sobre el sistema de $N$ puntos del sistema de referencia $R$ . $$Q_k|_R(t,q,\dot{q}) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \cdot \vec{F}_i|_R(t, \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_N, \vec{v}_1|_R, \ldots \vec{v}_N|_R)\:,$$ Toma, $\vec{x}_i(t,q^1,\ldots, q^n)$ es el vector de posición del i-ésimo punto material en el sistema de referencia $R$ escrita en función del tiempo y de las coordenadas lagrangianas y $\vec{v}_i|_R(t,q^1,\ldots, q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n)$ es la velocidad de ese punto material en $R$ .

Es importante especificar el marco de referencia $R$ ya que, si $R$ es no inercial, el $Q_k|_R$ incluyen también la contribución de las pseudofuerzas de inercia.

También suponemos que sabemos la forma funcional de estas fuerzas $\vec{F}_i|_R$ y así $Q_k|_R:= Q_k|_R(t,q, \dot{q})$ son $n$ conocido (de forma diferente a la forma funcional de las fuerzas reactivas debidas al ideal que se plasman en el formalismo lagrangiano).

Si las fuerzas $\vec{F}_i|_R$ son conservadores en $R$ es decir, $$\vec{F}_i|_R(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_N) = -\nabla_{\vec{x}_i} U|_R(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_N)\:,$$ tenemos inmediatamente que $$Q_k|_R(t,q) = -\frac{\partial }{\partial q^k} U|_R(t,q^1,\ldots,q^n)\:,$$ donde hemos adoptado la notación no completamente rigurosa, pero muy eficaz $$U|_R(t,q^1,\ldots,q^n) := U|_R(\vec{x}_1(t,q^1,\ldots, q^n), \ldots, \vec{x}_N(t,q^1,\ldots, q^n))\:.$$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange se especializan en $$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T|_R(t, q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial T|_R(t,q,\dot{q})}{\partial q^k} = - \frac{\partial U|_R}{\partial q^k} \:.$$

Ya que, trivialmente, $$\frac{\partial}{\partial \dot{q}^k} U|_R(t,q^1,\ldots,q^n) =0\:,$$ podemos reescribir esas ecuaciones como $$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T|_R(t, q,\dot{q})- U|_{R}(t,q)}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial T|_R(t,q,\dot{q})- U|_{R}(t,q)}{\partial q^k} = 0\:,$$ a saber $$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L|_R(t, q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial L|_R(t,q,\dot{q})}{\partial q^k} = 0\:, \tag{2}$$ donde hemos introducido el Lagrangiano a que se refiere $R$ , $$L|_R(t, q,\dot{q}) := T|_R(t, q,\dot{q}) - U|_R(t, q)\:.\tag{3}$$

Está claro que el procedimiento puede generalizarse aún más abarcando las fuerzas, en su caso cuya forma funcional puede depender también de las velocidades así $$Q_k|_R(t,q, \dot{q}) = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial U|_R(t, q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial U|_R(t,q,\dot{q})}{\partial q^k}\tag{4}$$
para algún potencial generalizado $$U|_R:= U|_R(t,q, \dot{q})\:.$$ También en ese caso, partiendo de (1) se ve inmediatamente que las ecuaciones de E.L toman la forma (2) si hemos definido una Lagrangiana como en (3).

Debido a varios problemas derivados de la aplicación de esta receta, al final se ve que un potencial generalizado sólo puede ser lineal en las variables $\dot{q}^k$ . (De hecho, esto se debe a la estructura de las ecuaciones EL, sin esta condición el teorema de existencia y unicidad puede fallar, pero no quiero entrar aquí en los detalles de esta cuestión técnica).

Por lo tanto, la forma más general permitida de un potencial generalizado es $$U(t,q,\dot{q}) = B(t,q)+ \sum_{k=1}^n A_k(t,q)\dot{q}^k \tag{5}\:.$$

Ahora surge una pregunta natural. ¿No es más que una elegante extensión matemática del formalismo sin contenido físico?

¡No! Hay al menos dos casos muy importantes.

1. En Fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga debido a campos electromagnéticos externos genéricos. Las ecuaciones de E.L. pueden escribirse utilizando un potencial generalizado bien conocido.

2. Todos los tipos de fuerzas de inercia cuando $R$ no es inercial y su movimiento se conoce con respecto a un sistema de referencia inercial $R_0$ . También en este caso existe un potencial generalizado que da lugar a todas las pseudofuerzas inerciales.