Integración: Integrar y luego sustituir un número tiene una respuesta diferente a sustituir un número y luego integrar; para funciones trigonométricas

Question

Esta puede ser una pregunta muy tonta pero estoy realmente atascado en cuanto a por qué sucede esto. Ahora, la respuesta a la integral $$B_n = 2 \int_0^1 k\sin(3\pi x)\sin(n\pi x) dx \qquad (k = 0.01, n=1,2,3,...)$$ es $k$ cuando $n=3$ y $0$ cuando $n\neq3 $ .

Pero cuando intento resolver para una solución general obtengo $$ \begin{align} B_n &= 2k\int_0^1 \frac12[\cos(3\pi x-n\pi x)-\cos(3\pi x+n\pi x)]dx \\ &= k\int_0^1 \cos(3\pi x-n\pi x)-cos(3\pi x+n\pi x)dx \\ &= k[\frac{1}{3\pi - n\pi}\sin(3\pi x - n\pi x) - \frac{1}{3\pi+ n\pi}\sin(3\pi x+ n\pi x)]_0^1 \\ &= k(\frac{1}{3\pi - n\pi}\sin(3\pi - n\pi) - \frac{1}{3\pi+ n\pi}\sin(3\pi+ n\pi) )\end{align} $$ que da $0$ para todo número entero $n$ . ¿Por qué?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\dfrac{1}{3\pi - n\pi}$ no está definido en $n=3$ . Así que hay que resolver la integral para $n=3$ por separado. En $n=3$ tenemos $$k\int_0^1 \cos(3\pi x-n\pi x)-\cos(3\pi x+n\pi x)dx=k\int_0^1 \cos(0)-cos(6\pi x)dx=k\int_0^1 1-\cos(6\pi x)dx.$$ ¿Puedes completarlo?