Pruebas visuales de sumatorias de serie

Question

Me gustaría armar una compilación de visualmente geométrica de las pruebas de la serie de sumatorias. Tengo tres famosos 2D ejemplos para aclarar lo que quiero decir a continuación, pero otros "visualmente geométrica" pruebas de una infinita suma son bienvenidos. Si usted puede agregar a esta lista con una imagen, un enlace a internet en algún lugar, o alguna otra referencia, que ayuda. No puedo coger la respuesta correcta a una pregunta como esta, así que voy a hacer esta wiki de la comunidad.

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$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

mediante la observación de $\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\int_0^1(x^{n-1}-x^n)\,dx$.

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$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)=\ln(2)$$

usando ese $\ln(2)=\int_0^1\frac{1}{x+1}\,dx$. Cada punto en esta imagen ha $x$-coordinar una fracción con una potencia de $2$ por su denominador, y $y$-coordinar determinado por la curva de $y=\frac{1}{x+1}$.

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$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n+1}}=1$$

donde la gran plaza es$1\times1$, y para cada una de las $n$ tenemos $n$ rectángulos de área $\frac{1}{2^{n+1}}$.

Answer 1

Prueba Visual para $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$:

Siguiente idea visual se encuentra en un excelente papel por Mikael Passare:

Aún más sorprendente que la imagen de arriba son técnicas que se utilizan para la prueba. Implican matemáticas básicas sólo, esencialmente, la trigonometría y el más visual de las transformaciones de la curva (a veces infinita!) y la línea recta de las áreas, como este:

Aquí las seis de la región tienen la misma área, consulte los detalles en el papel.

Answer 2

Muy intuitiva pruebas de que:

$$\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}}\frac{1}{3^{n-1}} = \frac{3}{4}$$

(de esta página web)