Una cuerda está colgando entre dos postes encontrar este

Question

Dos postes de 50 m de altura están conectados con 80 m de cuerda colgando entre ellos. La cuerda cuelga a 20 m del suelo. ¿Cuál es la distancia entre los dos postes?

Mi intento: Intenté encontrar la ecuación como $f(x)=kx^2$ con la longitud de la mitad de la cuerda 40 m. Por lo tanto:

$$\int_0^a\sqrt{1+f'(x)^2}dx=40$$

Hice algunos intentos pero no pude resolverlo.

Una cosa más: pensé en la ecuación de la catenaria pero no lo conseguí después de buscar mucho.

Answer 1

En primer lugar, la forma de la cuerda no es una parábola sino una catenaria y todas las catenarias son similares, definidas por:

$$y=a\cosh\frac xa$$

Sólo tienes que averiguar dónde está el origen (ver imagen). La altura del punto más bajo de la cuerda es 20 y el poste tiene 50 metros de altura. Así que el punto final debe ser $a+(50-20)$ por encima del $x$ -eje. En otras palabras $(d/2, a+30)$ debe ser un punto de la catenaria:

$$ a+30=a\cosh\frac{d}{2a}\tag{1} $$

La longitud de la catenaria viene dada por la siguiente fórmula (que puede demostrarse fácilmente):

$$s=a\sinh\frac{x_2}{a}-a\sinh\frac{x_1}{a}$$

donde $x_1,x_2$ son $x$ -cooridanatos de puntos finales. En nuestro caso:

$$80=2a\sinh\frac{d}{2a}$$

$$40=a\sinh\frac{d}{2a}\tag{2}$$

Tienes que resolver el sistema de dos ecuaciones, (1) y (2), con dos incógnitas ( $a,d$ ). Es bastante sencillo.

Cuadra (1) y (2) y resta. Obtendrás:

$$(a+30)^2-40^2=a^2$$

Calcule $a$ de esta ecuación, sustituye ese valor en (1) o (2) para evaluar $d$ .

Mi cálculo:

$$a=\frac{35}{3}\approx 11.67$$

$$d=\frac{70}{3}\text{arccosh}\frac{25}{7}\approx 45.40$$