Límite de una diferencia de integrales que parecen casi idénticas,

Question

Sea $\gamma (t) = t+i(e^t-1)$ para $-1\le t \le 1$ .

encontrar

$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \left[\int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{(z-i\epsilon)^2} dz - \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{(z+i\epsilon)^2} dz\right]$$

He intentado utilizar directamente la parametrización dada e integrar de -1 a 1 contra $dt$ . Además, en lugar de sin(z), he utilizado $e^{iz}$ y planeaba tomar la parte imaginaria del resultado. No hubo suerte...

Luego integré por partes, lo que tampoco fue muy perspicaz.

Ahora me pregunto si se puede aplicar el teorema de convergencia dominada.

Cualquier idea es bienvenida.

Gracias,

Answer 1

(Un esquema muy aproximado.)

Escriba a $\gamma_{\epsilon}(t)=\gamma(t)-i\epsilon$ . Entonces lo anterior es:

$$\int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{\sin (z+i\epsilon)}{z^2}dz - \int_{\gamma_{-\epsilon}} \frac{\sin (z-i\epsilon)}{z^2}dz$$

Sustituir por $\sin(a+b)$ fórmula, obtenemos:

$$\cos(i\epsilon)\left(\left(\int_{\gamma_{\epsilon}}-\int_{\gamma_{-\epsilon}}\right)\frac{\sin z}{z^2}dz\right)+\\\sin(i\epsilon) \left(\left(\int_{\gamma_{\epsilon}}+\int_{\gamma_{-\epsilon}}\right)\frac{\cos z}{z^2}\,dz\right)$$

La primera parte es "casi" un bucle alrededor de cero, en sentido contrario a las agujas del reloj, con las partes que faltan acercándose a cero cuando $\epsilon\to 0^+$ . Así que el límite es en realidad la integral $$\int_{\Gamma} \frac{\sin z}{z^2}\,dz$$ para $\Gamma$ un bucle alrededor de cero en el sentido de las agujas del reloj. Esto es sólo $2\pi i$ si recuerdo ese paso.

Sospecho que puedes usar eso $\frac{\cos z}{z^2}$ es incluso acotar las integrales en la segunda parte. Básicamente, para funciones pares:

$$\int_{\gamma_{-\epsilon}} =-\int_{-\gamma_{-\epsilon}}$$

Así que..:

$$\left(\int_{\gamma_{\epsilon}}+\int_{\gamma_{-\epsilon}}\right)\frac{\cos z}{z^2}\,dz =\left(\int_{\gamma_{\epsilon}}-\int_{-\gamma_{-\epsilon}}\right)\frac{\cos z}{z^2}\,dz$$

Estos dos caminos, $\gamma_{\epsilon}$ y $-\gamma_{-\epsilon}$ están ahora en el mismo lado de $0$ y podemos conectar sus puntos extremos con curvas acotadas alejadas de cero, para mostrar que estas integrales están acotadas, y por tanto este término se aproxima a cero cuando se multiplica por $\sin(i\epsilon)$ .

Así que el resultado final es, creo, $2\pi i$ .