Determinar si la serie $\sum_{n=1}^\infty {n\over {n^2+1}}$ es convergente o divergente y justificar la respuesta.

Question

Estoy intentando resolver el problema anterior, pero me he quedado atascado. No puedo utilizar la prueba de la serie p fácilmente para comprobarlo. ¿Tal vez la prueba integral? Aquí hay una imagen de algunas reglas que me da mi libro, por si alguien necesita saber lo que ya he aprendido:

Siguiendo estas reglas, el paso 3 parece ser mi única opción. Siguiendo eso, $$a_n={n\over{n^2+1}}\;\;and\;\;b_n={n\over{n^2}}$$ Desde $P=2$ es decir $P>1$ y converge. Entonces, por la prueba de comparación, ${n\over{n^2+1}}$ converge. ¿Le parece correcto? Me parece que es demasiado fácil, pero no sé.

Gracias, señor.

Answer 1

$b_n$ es la serie armónica (cancela el $n$ '), o un $p$ -serie con $p=1$ que diverge. Desgraciadamente $a_n$ es menor, por lo que hay que hacer la prueba de comparación de límites (no sólo la prueba de comparación ordinaria). Resulta que $a_n$ y $b_n$ coinciden, por lo que $a_n$ también diverge.

Answer 2

Tienes razón en que el paso 3 es el camino a seguir. Usted como para comparar con $$ b_n = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} $$ Entonces $a_n < b_n$ y $\sum b_n$ es un $p$ -serie. Pero $p=1$ por lo que la serie $\sum b_n$ diverge . Esto significa que nuestra prueba de comparación habitual no funcionará. No es útil decir que una serie es menor que una divergente-es como decir que la suma de las series es menor o igual que $\infty$ .

Hay dos opciones:

1. Compara $a_n$ a $b_n = \frac{1}{2n}$ . Esperemos que para todos $n$ o al menos para todos $n$ pasado algún número $n_n$ , $a_n > b_n$ . Y $\sum b_n$ aún diverge ya que todo lo que hicimos fue escalar por una constante. Así que la prueba de comparación te da lo que quieres: $\sum a_n$ diverge.

2. Utilice la prueba de comparación de límites (esto puede ser algo que ya haya cubierto, o puede que no). Sea $b_n = \frac{1}{n}$ como antes. Entonces, como $$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1 $$ la serie $\sum a_n$ y $\sum b_n$ ambos convergen o ambos divergen. Dado que $\sum b_n$ diverge, sabemos $\sum a_n$ también diverge.

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Unas palabras de la policía de la gramática matemática: Asegúrate de distinguir entre una serie y la secuencia de sus términos. A veces decimos cosas como " $b_n$ diverge" cuando nos referimos a la serie $\sum b_n$ diverge. En secuencia $b_n$ converge realmente (a cero). La dirección $\sum$ es una parte importante de la expresión. Omitirlo es como confundir una función y una integral definida. Es, en el mejor de los casos, una chapuza y, en el peor, una confusión.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \frac{n}{n^2 + 1} \ge \frac{n}{n^2 + n} \ge \frac{n}{n^2 + n^2} = \frac{1}{2n}, $$ por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2 + 1} \ge \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} . $$

Answer 4

Utilizar que $$\frac{n}{n^2+1}\geq \frac{1}{2n}$$