Paradoja de la función integral

Question

He encontrado un resultado que realmente me desconcierta en un cálculo. Supongamos una función $f(x)$ . Entonces debería haber alguna función $I(x)$ tal que

$I(f(x)) = \int(f(x)) dx$ Tomando la derivada con respecto a x se obtendría: $I'(f(x)) f'(x) = f(x)$ Pero esto no tiene sentido, ¿verdad? Porque en este sentido $f'(x) = 0" $ implicaría $f(x) = 0"$ que, por supuesto, no es así. Entonces, ¿dónde está mi error?

Answer 1

Supongamos una función f(x). Entonces debe haber alguna función I(x) $$I(f(x)) = \int(f(x)) dx.$$

Falso .

Hay dos problemas con lo que has escrito:

1. $\int f(x) dx$ es no una función, es una familia de funciones. Por lo tanto, $I$ debe corresponder al conjunto de familias de funciones, no al conjunto $\mathbb R$ .
2. Por ejemplo $f(x)=1$ lo que significa $\int f(x)dx = x+C$ . Aunque fijemos $C$ a $0$ El problema es que no existe tal función $I$ tal que $I(f(x))=x$ porque $f(x)=1$ para todos $x$ lo que significa $I(f(x))$ es constante para todos $x$ . Por lo tanto, deberías decir $(I(f))(x)$ no $I(f(x))$ (¡cuidado con los paréntesis!)

Por lo tanto, la única manera de que su declaración funcione es que $I$ sea un mapeo del conjunto de funciones al conjunto de familias de funciones, y entonces $I'$ no está realmente definido.

Answer 2

Otro problema: la evaluación $\ne$ composición. En símbolos: $$I(f)\ne I\circ f.$$ Consecuencia: no puedes utilizar la regla de la cadena.