Quiero evaluar la siguiente integral sobre el dominio $A=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|0\leq x+y\leq 1, 0\leq 2x-3y \leq 4\}$ : $$\int_A \sqrt{x+y}\:\mathrm{d}\lambda(x,y)$$ Con la función $\Phi:A \rightarrow\Phi(A),\:(x,y)\mapsto(x+y,2x-3y)$ y la fórmula de cambio de variables obtengo $$\int_A \sqrt{x+y}\:\mathrm{d}\lambda(x,y)=\frac{8}{15}$$ Pero si escribo $A$ como $A=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y\in[-x,1-x],x\in[0,\frac{7}{5}]\}$ Lo entiendo: $$\int_A \sqrt{x+y}\:\mathrm{d}\lambda(x,y)=\frac{14}{15}$$ Creo que la primera es correcta y los conjuntos no son iguales pero eso significa que está prohibido sumar las desigualdades que definen un conjunto. ¿O dónde está el error?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por supuesto, se pueden sumar estas desigualdades (lo conceden los axiomas de orden), pero el problema aquí es la implicación. $0\leq x+y\leq 1$ y $0\leq 2x-3y\leq 4$ implica $0\leq 5x\leq 7$ y $0\leq x+y\leq 1$ pero lo contrario no es cierto.
No se puede deducir de $0\leq 5x\leq 7$ y $0\leq x+y\leq 1$ las desigualdades originales. Porque no se pueden restar inecuaciones.
Por ejemplo $a=3$ , $b=-1$ , $a\leq 3$ y $b\leq 1$ . Pero $a-b\leq 3-1=2$ es falso.
Así pues, la última definición de conjunto $A$ no es la misma que la primera.
Esta es una definición utilizable para la integral, aunque hay que separar la integral en tres partes para poder sumarla.
$A=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y\in[-x,\dfrac{2}{3}x],x\in[0,\dfrac{3}{5});\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y\in[-x,1-x],x\in[\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5});\}\cup$ $\cup\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y\in[\dfrac{2}{3}x-4,1-x],x\in[\dfrac{4}{5},\dfrac{7}{5}]\}$
