Recursos sobre teoría invariante

Question

¿Qué recursos hay sobre teoría invariante? Básicamente me he encontrado con la necesidad de enseñarme a mí mismo algunos de los fundamentos de la teoría invariante y estaba buscando un buen lugar para empezar. Preferiría recursos en línea / freeish si alguien sabe de alguno que se puede confiar - de lo contrario, si alguien puede recomendar un buen libro de introducción sobre el tema que sería muy apreciada.

(Estoy pensando en comprar o quizás convencer a mi biblioteca para que me encargue la Teoría Clásica Invariante de P. Olivers, pero antes he pensado en preguntar).

Como segunda pregunta -dos en una si se quiere- y quizás esto sirva para que sepan lo poco que sé de teoría de invariantes, ¿alguien puede resumir rápidamente la diferencia entre Teoría de Invariantes Clásica y Geométrica? En este momento creo que lo que necesito es el tipo clásico - pero de nuevo más información es siempre útil.

P.D. La teoría de la invariante geométrica puede no haber sido la mejor etiqueta para esta pregunta, pero aparentemente los nuevos usuarios no pueden crear nuevas etiquetas, así que elegí la más cercana - cualquiera que tenga el poder de cambiar la etiqueta a algo más apropiado por favor que lo haga.

Answer 1

La teoría invariante habitual se dedica a estudiar anillos; un buen ejemplo de resultado de la teoría invariante clásica es que el anillo de polinomios invariantes sobre cualquier representación de un grupo reductor está finitamente generado.

La teoría de invariantes geométricos consiste en construir y estudiar las propiedades de ciertos tipos de cocientes; un buen ejemplo sería el espacio de moduli de haces vectoriales semiestables sobre una variedad algebraica.

En mi opinión, la diferencia es ésta: La teoría clásica de invariantes es una colección de resultados sobre la interacción entre las acciones de grupo y el álgebra conmutativa. La teoría geométrica de invariantes es una técnica para construir espacios interesantes.

Answer 2

Bueno, ya que nadie ha tenido una respuesta todavía, pensé en proporcionar una posible respuesta a mí mismo. Encontré un pdf que parece ser una introducción razonable a la teoría en línea y parece estar disponible gratuitamente: Kraft y Procesi - Teoría clásica de invariantes: manual básico ( Wayback Machine )

Una vez más, está claro que no soy un experto en este tema y sólo he empezado a leer sobre él, así que si alguien conoce una referencia mejor que ésta, se agradece.

Answer 3

También puedo recomendar el libro de Dolgachev Conferencias sobre teoría de invariantes . Antes estaba disponible gratuitamente en su página web, pero ahora está publicado. Trata tanto de la teoría clásica de invariantes como de las TIG.

La diferencia entre ambos es la siguiente. En la informática clásica lo que interesa es encontrar los invariantes de un anillo bajo la acción de un grupo. El ejemplo prototípico es la descripción del álgebra de polinomios simétricos como álgebra de polinomios sobre polinomios simétricos elementales.

En GIT se hace lo siguiente. Deje que $A$ sea un anillo, tal vez el anillo de funciones de alguna variedad algebraica afín, con una acción de $G$ . Entonces $A^G$ debe ser el anillo de funciones sobre el cociente de su variedad por $G$ . Así pues, la teoría de invariantes se considera una herramienta para describir los anillos de funciones de las variedades cocientes. El problema es que no todas las variedades son afines, por lo que el GIT pasa a estudiar qué significa tomar el cociente por la acción de un grupo de una variedad (o esquema) más general, típicamente en el caso proyectivo. Una de las principales diferencias es que resulta que hay puntos malos que hay que descartar por completo antes de tomar un cociente.

Answer 4

Además de los ya mencionados

Procesi, Grupos de Lie. Una aproximación a través de invariantes y representaciones

que ofrece una excelente actualización tanto de "Classical groups. Sus invariantes y representaciones" y las partes relevantes de "Métodos de geometría algebraica" de Hodge y Pedoe, me gustaría mencionar un libro asombroso de Kraft, desafortunadamente no traducido al inglés todavía (hay una traducción al ruso):

Kraft, Métodos geométricos en teoría de invariantes

Para una visión de conjunto, recomiendo la siguiente encuesta en ruso (Yellow Springer) Enciclopedia de Matemáticas:

Vinberg y Popov, Teoría invariante Geometría algebraica IV

Answer 5

Creo que este libro de Goodman&Wallach, "Representations and Invariants of the Classical Groups", (puedes encontrar una vista previa en google si lo deseas) es muy bueno. Sólo unos pocos capítulos de este libro son 100% relevantes para el tema, pero si te centras en ellos deberías tener una buena visión básica.

Además, si estás interesado en la teoría de invariantes para grupos unipotentes (a menudo, si intentas calcular la teoría de invariantes para sumas directas de representaciones de grupos reductores, acabarás con algo que implica también a grupos unipotentes, por ejemplo), hay un buen artículo, (aunque es algo algorítmico) : Sancho de Salas - Teoría de invariantes para grupos unipotentes y algoritmo de cálculo de invariantes .