Derivadas de multivariables con regla de la cadena

Question

$\frac{dz}{dt}$ de $z = (x+y)e^y$ , $x = 6t$ , $y = 1-t^2$

Me imaginé que la fórmula para esto era $\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$

Para el primer término he calculado: $6e^y$

Para el 2º plazo he calculado $(xe^y + ye^y + e^y)(-2t)$ o $e^y(x + y + 1)(-2t)$

Gracias

Answer 1

El parcial de $z$ con respecto a $x$ es $$e^y=e^{1-t^2}$$ El parcial de $z$ con respecto a $y$ es $$e^y(x+y+1)=(2+6t-t^2)e^{1-t^2}$$ Entonces $x'(t)=6$ y $y'(t)=-2t$ . Por fin, $$z'(t)=6e^{1-t^2}+(-2t)[2+6t-t^2]e^{1-t^2}=2e^{1-t^2}[t^3-6t^2-2t+3]$$