Supongamos un número $a=\sum_{r\in R,s\in S}r^{-s}$ donde R es un subconjunto de números naturales con densidad positiva y S es un subconjunto de números naturales de densidad 0. ¿Es $a$ ¿trascendental?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si permite $S$ ser finito, entonces la respuesta es no: cualquier número real $x\in(0,\frac{\pi^2}6-1)$ puede escribirse como $\sum_{r\in R} r^{-2}$ para algún conjunto $R$ de enteros positivos con densidad positiva.
Para verlo, seleccione primero $m\ge2$ tal que $m^2x > \frac{\pi^2}6$ y que $R_1 = m\mathbb N$ de modo que $\sum_{r\in R_1} r^{-2} = \frac{\pi^2}{6m^2} < x$ . A continuación, utilice el algoritmo codicioso: defina recursivamente $n_k$ el menor número entero positivo que no esté en $R_1 \cup \lbrace n_1,\dots,n_{k-1}\rbrace$ tal que $\sum_{j=1}^k n_j^{-2} < x - \frac{\pi^2}{6m^2}$ . Configuración $R_2 = \lbrace n_1,n_2,\dots \rbrace$ y $R=R_1\cup R_2$ vemos que $\sum_{r\in R} r^{-2} = x$ . Se puede demostrar que $R_2$ tiene densidad 0: si $x_k = x - \frac{\pi^2}{6m^2} - \sum_{j=1}^k n_j^{-2}$ entonces el hecho de que $n_k^{-2} < x_{k-1} \le (n_k-1)^{-2}$ demostrar que $x_k \le (n_k-1)^{-2} - n_k^{-2} < 2n_k^{-3} < 2x_{k-1}^{3/2}$ por lo que el $n_k$ forman un conjunto muy disperso.
Creo que una prueba similar demostrará lo siguiente: dado cualquier subconjunto $S$ de $\lbrace2,3,4,\dots\rbrace$ existe $x_0(S)>0$ tal que cualquier número real $x\in(0,x_0(S))$ puede escribirse como $\sum_{r\in R} \sum_{s\in S} r^{-s}$ para algún conjunto $R$ de densidad positiva. (Básicamente, se sustituye la función $t^{-2}$ de la prueba anterior con la función $\sum_{s\in S} t^{-s}$ .)
