He intentado sustituir algunos valores de $x$ . También sé que $f(x)=x$ es una solución a la función, pero no soy capaz de demostrarlo sistemáticamente.

Question

Resolver la ecuación funcional $f(x+1)+f(x-1)=2f(x)$ para $f(x)$

He intentado sustituir $x= x-1; x-2; x+1;x+2$

Pero no consigo llegar a un método sistemático para resolver esta cuestión.

Sé que $ f(x)=x $ funciona pero no puede probarlo.

Answer 1

Si no tienes más condiciones sobre f (continuidad, derivabilidad, convexidad...), tendrás muchas posibilidades...

Sin más assomption, utilizando teorías de secuencias habituales con condición recurrente lineal (sólo tengo el francés referencia), podemos decir que existen dos fonctiones g,h (sin condición sobre ella) tales que, si notamos E(x) el mayor número natural menor que x y {x}= $x-E(x) \in [0,1[$ la parte fraccionaria de x, tenemos : $$f(x)=g(\{x\})+h(\{x\})E(x)$$ Para verlo, consideremos las secuencias $a_n=f(\{x\}+n)$ y observe que la hipótesis se convierte en $a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=0$ y luego usar la teoría (aquí 1 es un doble cero del polinoma característico)

Otra forma de enunciar este resultado (mediante alguna manipulación) es decir que hay dos fuentes k,l 1-periódicas tales que $$f(x)=k(x)+l(x)*x$$

A continuación, podemos tomar dicha función y comprobar que la ecuación es válida. No creo que podamos hacerlo mejor sin más hipótesis.

Answer 2

Sugerencia: Si $f$ es $C^2$ entonces el Teorema de Taylor muestra que $$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x+h)}{h}=cf''(x),$$ donde $c$ es $1/2$ o $1$ o $2$ o algo así, nunca recuerdo la constante sin trabajarla.

Answer 3

No puedo demostrar si existen o no soluciones adicionales, así que aquí tienes una respuesta parcial:

Sea $a$ cualquier número real y $f(x)=ax$

Ahora $f(x+1) + f(x-1) = a(x+1) + a(x-1) = ax + a +ax - a = 2ax = 2f(x)$

Por lo tanto, $f(x)=ax$ es siempre una solución de la ecuación

Answer 4

Asumiendo continuidad, tenemos, $$\frac {f(x+1)+f(x-1)}{2}=f\left(\frac {(x+1)+(x-1)}{2}\right)$$ Por lo tanto, a partir de la condición de igualdad de la desigualdad de Jensen, está claro que $f''(x)=0$ lo que significa $f(x)$ es lineal. Sustituya $f(x)=ax+b$ obtendrá $b=0$ et $a\in R$ .