Demuestre que las funciones son inyectivas, suryectivas si satisfacen la función de identidad

Question

5. (c) Demuestre que si las funciones $f:AB$ y $g:BA$ satisfacer $gf=1_A$ donde $1_A:AA$ es la función de identidad de $A$ entonces la función $f$ es inyectiva, mientras que $g$ es suryectiva.

¿Cómo voy a demostrarlo si ni siquiera conozco las funciones?

Answer 1

Inyectabilidad: Sea $x,y\in A$ y $f(x)=f(y)$ entonces $g(f(x))=g(f(y))$ desde $g$ también es una función. Por suposición $g(f(x))=x$ para todos $x\in A$ sigue $x=y$ de ahí $f$ es inyectiva.

La subjetividad: Necesitamos demostrar que para cada $x\in A$ hay algo de $z\in B$ tal que $g(z)=x$ . Por definición de $f$ tenemos $f(x)\in B$ . Toma $z=f(x)$ entonces $g(z)=g(f(x))=x$ . Por lo tanto $g$ es suryectiva.