Historia de las definiciones teóricas de conjuntos $\mathbb N$

Question

¿Qué representaciones de los números naturales se han utilizado históricamente y quién las inventó? ¿Hay alguna ventaja o desventaja destacable?

No hace mucho leí sobre la definición de Frege, que implica iterar sobre todos los demás miembros del universo; claramente no es posible en las teorías de conjuntos sin un conjunto universal. La habitual hoy en día es

• $0 = \{\}\text{ (sometimes }\{\{\}\}\text{?)}$
• $S(n)=n\cup\{n\}$

pero sé que otra de las primeras definiciones era

• $0=\{\{\}\}$
• $S(n)=\{n\}$

Por desgracia, no sé quién fue el primero en utilizar o popularizar estas dos últimas, ni si hubo otros contendientes tempranos.

Answer 1

Cantor definió los ordinales en sus primeros trabajos. Más tarde, Zermelo demostró que, según el axioma de elección, todo conjunto puede estar bien ordenado.

Bueno las órdenes son muy rígidas en el sentido de que si $A\cong B$ son dos conjuntos bien ordenados entonces el isomorfismo es único. Esto nos permite construir órdenes bien explícitos para cada tipo de orden.

Los ordinales de Zermelo eran $\varnothing=\{\}$ para $0$ y $n+1=\{n\}$ para los sucesores. El conjunto de los números naturales es simplemente todos los ordinales finitos, sin embargo esto no podría haber sido definido en su teoría original.

Sin embargo, en sus trabajos sobre teoría de conjuntos, von Neumann popularizó los axiomas añadidos por Fraenkel y Skolem (así como por él mismo) a los primeros trabajos de Zermelo sobre teoría axiomática de conjuntos. Añadió el axioma de fundamentos y el esquema de sustitución. Luego siguió definiendo los ordinales como conjuntos transitivos que están bien ordenados por $\in$ . Este trabajo fue quizás popularizado aún más por Bernays y Goedel cuando desarrollaron la extensión de ZF que permite clases propias.

La definición de von Neumann era que $0=\varnothing$ et $n+1=n\cup\{n\}$ . Esta es una definición terriblemente conveniente, ya que nos permite decir con claridad que $n< m\Leftrightarrow n\in m$ Además, nos permite definir los números naturales como el conjunto menos inductivo.

La idea de von Neumann se trasladó fácilmente también a los ordinales transfinitos, no estoy seguro de la convención de Zermelo. Sin embargo, recuerdo haber leído que a Zermelo le preocupaban menos los ordinales.

(También sugiero la sección Introducción de la obra de Akihiro Kanamori El infinito superior en el que escribe sobre la historia de la teoría de conjuntos. Puede que no trate exactamente sobre los ordinales o los números naturales, pero es una lectura interesante y aporta algunas ideas que añadir a lo que he escrito más arriba).

Añadido: Al buscar más sobre el tema, me topé con el reciente artículo de Kanamori citado a continuación. Allí dice que Bernays trabajó con Zermelo, y parece que fue él quien popularizó las definiciones zermeloianas, ya que el trabajo de von Neumann se basaba en el fundamento de la $\in$ y el esquema de sustitución.

1. Akihiro Kanamori, Bernays y la teoría de conjuntos . Boletín de Lógica Simbólica , Vol. 15, No. 1 (mar., 2009), pp. 43-69

Answer 2

Quizá este libro también pueda serte útil. Incluiré una breve cita del §1.2 Números naturales.

Ebbinghaus et al.: Números, p.14

Contar con ayuda de marcas de símbolos numéricos Contar computando. Hasta bien entrado el siglo hasta bien entrado el siglo XIX, se intentó remontar la idea de número a sus orígenes en el proceso psicológico de contar. La terminología psicológica y filosófica Sin embargo, la terminología psicológica y filosófica utilizada con este fin fue criticada, después de que FREGE lógica y CANTOR'S teoría de conjuntos había proporcionado la lógica bases para una evaluación crítica del concepto de número. DEDEKIND, que mantenía correspondencia con CANTOR desde principios de la década de 1870, propuso en su libro ¿Qué son los números y para qué sirven? [9] (publicado en 1888, pero en su mayor parte escrita en los años 1872-1878) una definición "conjunto-teórica" de los números naturales, que otras propuestas propuestas por FREGE y CANTOR y, finalmente, la axiomatización de PEANO. de PEANO. Que los números, axiomatizados de esta manera, son unívocamente (hasta el isomorfismo) se deduce del teorema de recursión de DEDEKIND.

El libro de Dedekind ¿Qué son los números y para qué sirven? parece estar disponible en línea: Artículo de Wikipedia sobre Richard Dedekind ofrece dos enlaces, uno en ECHO y uno en GDZ .