elementos irreducibles de anillos polinómicos

Question

Sea $p$ sea un número entero primo. En $x\in\mathbb{Z}$ , dejemos que $x'$ sea el resto de $x$ cuando se divide por $p$ . Sea $\sum_{i=0}^{n}a_iX^i\in \mathbb{Z}[X]$ con $p$ no divide $a_n$ en $\mathbb{Z}$ . Entonces demuéstralo:

(1). considerando el mapa $\phi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_p$ , $\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ es irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ si $\sum_{i=0}^{n}\phi(a_i)X^i$ es irreducible en $\mathbb{Z}_p[X]$ .

(2). $\sum_{i=0}^{n}\phi(a_i)X^i$ es irreducible en $\mathbb{Z}_p[X]$ no implica $\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ es irreducible en $\mathbb{Z}[X]$ .

Sólo estoy claro para el caso $a_n=1$ entonces se puede aplicar el lema de Gauss. Realmente no tengo idea de resolver...

Answer 1

Suponga que su polinomio $q$ es reducible (sobre $\mathbb{Z}$ ) entonces, si se reducen los factores mod $p$ se obtiene una factorización mod $p$ (a menos que uno de los factores sea una constante, pero eso no es posible por su condición en $a_n$ ).

En cuanto a la parte $2,$ parece que tienes tus casos cambiados; como se ha dicho es la negación de la parte (1), por lo que ambos no pueden ser verdad.