Demuestra las siguientes desigualdades:
Si $x\in\Bbb R$ , $x\ge0$ entonces,
(1) $-x\le \sin x\le x$ . Además, ¿se cumple esta desigualdad si $x<0$
(2) $1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1$
(3) $x-\displaystyle\frac{x^3}{6}\le \sin x\le x$
(4) $1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^4}{24}$
(5) Demuestre también que, $\left|\sin x\right|\le | x|$ , $\forall x\in \Bbb R$
Mi intento:
(1)
Desde entonces, $\displaystyle sin^2t+cos^2t=1$ , $ \forall \;\;t\in \displaystyle\Bbb R $
$\;\;\;\;\;\;\;\;\implies$ $\;-1\le \cos t\le1$ $ \forall \;\;t\in \displaystyle\Bbb R $
Si $x\ge0$ entonces,
$$\int_{0}^x-dt\le\int_{0}^x \cos t\;dt\le\int_{0}^x dt\;\;\implies -x\le\sin x\le x$$
Si $x<0$ que tenemos, $x\le \sin x\le -x$ .
(2)
Sobre la integración de la desigualdad en (1) obtenemos
$$\int_{0}^x-t\;dt\le\int_{0}^x \sin t\;dt\le\int_{0}^x t\;dt\;\;\implies -\frac{x^2}{2} \le - \cos x +1 \le \frac{x^2}{2} \implies 1-\frac{x^2}{2} \le \cos x$$
Por lo tanto, podemos concluir, $1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1$
Al proceder de forma similar, he comprobado que (3) y (4) también puede obtenerse.
¿Es correcto el planteamiento anterior?
Además, tengo curiosidad por ver qué ocurre en (2) , (3) y (4) para $x\le 0$ .
En (2) ,
Si $x \le 0$ $\implies $ $-x \ge 0$
Por lo tanto, $1-\displaystyle\frac{(-x)^2}{2}\le \cos (-x)\le 1$ $\implies $ $1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1$
Así, $$1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1, \;\; \forall x\in \Bbb R$$
En (3) ,
Si $x \le 0$ $\implies $ $-x \ge 0$
Por lo tanto, $(-x)-\displaystyle\frac{(-x)^3}{6}\le \sin(-x)\le (-x) \implies -x+\displaystyle\frac{x^3}{6}\le -\sin x\le -x \implies x \le \sin x\le x-\displaystyle\frac{x^3}{6}$
Así, $$x-\displaystyle\frac{x^3}{6}\le \sin x\le x \;\;, \forall x\ge 0 $$ $$x \le \sin x\le x-\displaystyle\frac{x^3}{6}\;\;, \forall x\le 0$$
Del mismo modo, para la parte (4) , $1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\le \cos x\le 1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^4}{24}, \;\; \forall x\in \Bbb R$
¿Cómo puedo demostrarlo? (5) ?
¿He hecho algo mal?
