Hipótesis del teorema de la representación de Riesz

Question

La representación de Riesz establece que

Sea $(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ sea un espacio de Hilbert. Entonces para cualquier funcional lineal y continua $x^{\ast}:H \to \mathbb{K}$ existe un elemento único $y \in H$ tal que $x^\ast(x) = \langle x, y\rangle\ \forall x \in X$ y, a la inversa, si $y \in H$ entonces $x^\ast:H \to K, x^\ast(x) = \langle x, y \rangle\ \forall x \in H$ es lineal y continua, con $\|x^\ast\|=\|y\|$ .

Ahora la pregunta es: ¿podemos sustituir "espacio de Hilbert" por "espacio prehilbertiano"?

Bueno, de momento creo que no. Mis pensamientos hasta ahora son que tengo que encontrar un espacio no completo $X$ como $C[a, b]$ con el producto interior $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)dt$ y en ese espacio, encontrar un funcional para el que exista $x \in X$ tal que $x^\ast(x) \neq \langle x, y\rangle\ \forall y \in X$ .

Otra cosa que podría hacer, es encontrar un funcional para el que exista $y, y' \in X$ , $y \neq y'$ tal que $\forall x \in X$ , $x^\ast(x) = \langle x, y\rangle = \langle x, y' \rangle$ .

De momento, no he conseguido encontrar un ejemplo de contador, así que si pudieras indicarme dónde buscar, sería estupendo.

Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Tomemos un espacio de Hilbert hecho a partir de un espacio pre-Hilbert (como por ejemplo $L^2[a,b]$ de $C[a,b]$ ). Dado que $C[a,b]$ incrusta en $L^2[a,b]$ , tomar cualquier funcional en $L^2[a,b]$ procedente de una función que no tiene un representante continuo. Será una función lineal sobre $C[a,b]$ pero no vendrá dado por producto interior con ningún elemento de $C[a,b]$ . -- Neal