Demostración de la propiedad del espectro de un operador compacto autoadjunto

Question

Necesito probar que, si $T$ es un operador compacto y autoadjunto en un espacio de Hilbert $\mathsf H$ y $\sigma_p(T)$ es su espectro puntual, entonces $\sigma_p(T) \neq \varnothing$ y $$\sup_{\lambda \in \sigma_p(T)} |\lambda| = \max_{\lambda \in \sigma_p(T)} |\lambda|= \|T \|.$$

Seguramente $\sup_{\lambda \in \sigma_p(T)} |\lambda| \leq \|T\|$ como si $\psi_\lambda \in \mathsf E_\lambda[T]$ (el $\lambda$ -de $T$ ) y $\|\psi_\lambda\| = 1$ entonces por Cauchy-Schwarz

$$\|T\| \geq |(\psi_\lambda,T\psi_\lambda)| = |(\psi_\lambda,\lambda\psi_\lambda)|= |\lambda|$$

Para demostrar (a) la igualdad, y (b) que la $\sup$ es en realidad un $\max$ basta con exponer $\lambda \in \sigma_p(T)$ tal que $|\lambda| = \|T\|$ . Conozco los siguientes hechos:

1. $T$ es autoadjunto, por lo que $$\|T\| = \sup_{\|\psi\|=1} |(\psi,T\psi)|,$$ por lo que existe una secuencia $\{\psi_n\}\subset \mathsf H$ tal que $\lim_{n\to\infty}|(\psi_n,T\psi_n)| = \|T\|$ . Fije uno tal que $\|\psi_n\| = 1$ .
2. $T$ está acotada, por lo que $\|T\psi\| \leq \|T\|\|\psi\|$ para todos $\psi\in\mathsf H$ .
3. $T$ es compacto y $\{\psi_n\}$ es una sucesión acotada, por lo que $\{T\psi_n\}$ admite una subsecuencia convergente $\{T\psi_{n_k}\}$ .
4. La secuencia $\{T\psi_n - \|T\|\psi_n\}$ converge a $0$ : $$\begin{split} \lim_{n\to\infty} \big\| T\psi_n - \| T\| \psi_n\big\|^2 &= \lim_{n\to\infty} \big(T\psi_n - \| T\| \psi_n,T\psi_n - \| T\| \psi_n\big) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\| T\psi_n\|^2 + \| T\|^2 -2\| T\| (\psi_n, T\psi_n) \right) \\ &\leq \lim_{n\to\infty} \left(2\| T\|^2 - 2\| T\| (\psi_n,T\psi_n) \right) \\ &= 2\| T\|^2 - 2\| T\|^2 = 0. \end{split}$$

Estos hechos me permiten concluir que $\{\psi_{n_k}\}$ también es convergente. De hecho, podemos reescribir $$\psi_{n_k} = \frac{T\psi_{n_k} - T\psi_{n_k} + \|T\|\psi_{n_k}}{\|T\|},$$ de modo que, por la desigualdad del triángulo, la continuidad de la norma, y el Hecho 4, $$\left\|\lim_{k\to\infty}\psi_{n_k}\right\| = \lim_{k\to\infty} \|\psi_{n_k}\| \leq \lim_{k\to\infty}\frac{\|T\psi_{n_k}\|}{\|T\|} + \lim_{k\to\infty}\frac{\|T\psi_{n_k} - \|T\|\psi_{n_k}\|}{\|T\|} = \frac 1 {\|T\|} \left\|\lim_{k\to\infty} T\psi_{n_k}\right\|,$$ donde el primer límite existe por los Hechos 3 y 4 combinados, y el último límite existe por el Hecho 3. Fijando $\hat\psi := \lim_{k\to\infty}\psi_{n_k}$ podemos reescribir, por la continuidad de $T$ , $$\|T\| \| \hat \psi\| \leq \|T\hat\psi\|;$$ El hecho 2 implica igualdad. Comparando normas, viendo que $T=T^*$ tenemos que $$T\hat \psi = \pm \|T\| \hat \psi,$$ y por lo tanto hemos encontrado un $\lambda$ -eigenvector $\hat\psi$ tal que $|\lambda| = \|T\|$ . Esto implica que $\sigma_p(T) \neq \varnothing$ y el $\sup$ es en realidad un $\max$ .

¿Es correcta esta prueba? (Es una ligera reescritura de la que se encuentra en mi libro).

Answer 1

Un enfoque diferente: el espectro de $T$ es un conjunto compacto por lo que existe $\lambda$ en el espectro con $|\lambda|=\|T\|$ (porque el radio espectral es igual a la norma). Si $T \neq 0$ entonces $\lambda \neq 0$ . Para un operador autoadjunto compacto los puntos no nulos en el espectro beliong al espectro de punto tan $\lambda \in \sigma_p(T)$ .