¿Cerrado los puntos de un esquema corresponden a ideales máximos en la afina?

Question

Deje $X$ ser un esquema. Si $x\in X$ es un punto cerrado, a continuación, corresponde a un ideal maximal en $\mathcal{O}_X(U)$ para algunos afín a abrir subconjunto $U\subseteq X$.

Si me tomo una arbitraria abrir afín $\mbox{Spec}~A$ $X$ y un ideal maximal $x$$A$, $\{x\}$ es cerrado en $\mbox{Spec}~A$, pero no puede ser cerrado en $X$. Incluso podría darse el caso de que $\overline{\{x\}}$ contiene un punto perteneciente a un afín que tiene intersección vacía con $\mbox{Spec}~A$.

O no? Tal vez me falta algo fácil topológica de la propiedad aquí.

Hay un ejemplo de tal situación? O es en realidad el caso de que $\{x\}$ también estará cerrado en $X$? Si no, ¿bajo qué hipótesis en $X$ son todos de la máxima ideales en anillos de afín abre también cerró puntos en $X$?
Gracias de antemano.

Answer 1

Si $X=\mathrm{Spec}(A)$ es el espectro de una discreta valoración anillo, entonces el punto genérico $\eta$ es un afín abierta, es decir,$\mathrm{Spec}(k(\eta))$. De curso $\{\eta\}$ está cerrado en sí mismo, pero no en $\mathrm{Spec}(A)$. Así que esto demuestra que un punto de cierre en una afín a abrir no necesita ser cerrado en el ambiente del esquema.

Esto hace, sin embargo, para mantener los esquemas localmente finito de tipo a través de un campo de $k$. Es decir, si $X$ es $k$-esquema y $x\in X$ es cerrado en algunos afín a abrir$\mathrm{Spec}(A)$, $k(x)=A/\mathfrak{p}_x$ es una extensión del campo de $k$ que es finito tipo más de $k$. Así es finito $k$ por Zariski del lema (también conocido a veces como el Nullstellensatz). Ahora si $U=\mathrm{Spec}(B)$ es cualquier afín abierto que contiene a$x$, $x$ corresponde a un primer $\mathfrak{p}_x^\prime$$B$, e $B/\mathfrak{p}_x^\prime$ está contenida en $k(x)$ ($k(x)$ es la fracción de campo de este dominio, de hecho). Desde $k(x)/k$ es finito, podemos ver que $B/\mathfrak{p}_x^\prime$ es un dominio finito sobre un campo, y así es en sí mismo un campo, es decir, $\mathfrak{p}_x^\prime$ es un punto cerrado de $\mathrm{Spec}(B)$. Desde el afín abre la cubierta $X$, se deduce que el $x$ es un punto cerrado de $X$.

Tal vez hay otras situaciones donde cerrado puntos de afín abre se cierra. Me enteré de este hecho en particular de Qing Liu, el libro de la geometría algebraica. Si tenemos suerte tal vez él va a ver este problema y añadir algunas más información :)

Answer 2

Un contra-ejemplo(el mismo que el Keenan Kidwell) Deje $A$ ser un discreto anillo de valoración. Deje $m$ ser su único ideal maximal. Deje $f$ ser un generador de $m$. A continuación, $A_f$ es el campo de fracciones de $A$. Por lo tanto $x = {0}$ es un punto cerrado de $D(f) = Spec(A_f)$. Pero es que no se cierra en $Spec(A)$.

La proposición Deje $A$ ser un Jacobson anillo. Deje $X$ ser un esquema localmente finito tipo más de $A$. Deje $x$ ser un punto de cierre de un subconjunto $U$$X$. A continuación, $x$ es un punto cerrado de $X$.

Prueba: Deje $\bar {\{x\}}$ es el cierre de $\{x\}$$X$. Deje $y \in \bar {\{x\}}$. Basta probar que $x = y$. Deje $V = Spec(B)$ ser afín a abrir barrio de $y$. A continuación,$x \in V \cap U$. Existe una afín a abrir subconjunto $D(f) = Spec(B_f)$ tal que $x \in D(f) \subset V \cap U$ donde $f \in B$. Desde $x$ es cerrado en $U$, $x$ está cerrado en $D(f)$. Por lo tanto $x$ es un ideal maximal de a $B_f$. Desde $B_f$ es finitely generado más de $A$ $A$ es un Jacobson anillo, $x$ es un ideal maximal de a $B$. Por lo tanto $x$ es cerrado en $V$. Por lo tanto $\bar {\{x\}}\cap V = \{x\}$. Por lo tanto $x = y$ como se desee. QED