Encuentre el pdf de $Y = g(X)$ donde $X$ es una variable aleatoria uniforme

Question

La pregunta es la siguiente:

Sea $X$ sea una variable aleatoria uniforme sobre $(-1,2)$ . Sea $g(x) = |x|$ . Encuentre el pdf de $Y = g(X)$ .

Y esta es mi opinión hasta ahora:

$$f(x) = \begin{cases} 1/2 & \text{ if } -1 \leq x \leq 2, \\ 0 & \text{ otherwise.} \end{cases}$$

La fdc de $Y$ : $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y)$ .

y desde aquí se que tengo que dividir intervalos pero no se como hacerlo. Supongo que tengo que dividirlo en $4$ diferentes casos en los que si $y > 0$ si $y > 2$ o $0 < y <2$ , $y > 2$ ? Y encontrar cdf y tomar derivada para encontrar pdf.

Answer 1

Sí, tendremos que dividirnos en casos. Hay dos casos poco interesantes, (i) $y\le 0$ y (ii) $y\ge 2$ . Si $y\le 0$ entonces $F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=0$ . Si $y\ge 2$ entonces $\Pr(Y\le y)=1$ .

Los otros dos casos son (iii) $0\le y\le 1$ y iv) $1\lt y\lt 2$ .

Caso (iii): Tenemos $Y\le y$ sólo si $-y\le X\le y$ . La función de densidad de $X$ en el intervalo $(-1,2)$ es $\frac{1}{3}$ . Así que $\Pr(-y\le X\le y)=\frac{2y}{3}$ .

Caso (iv): Aquí $Y\le y$ sólo si $-1\le X\le y$ . Este intervalo tiene una longitud $y-(-1)$ Así que $F_Y(y)=\frac{y+1}{3}$ .

Por último, diferencie $F_Y(y)$ para hallar la función de densidad de $Y$ .