¿Por qué es ésta la probabilidad correcta de este suceso?

Question

Me hicieron esta pregunta en un examen:

Si un incidente tiene un $30$ % de probabilidad de que ocurra en los tres últimos meses de un proyecto que tiene una duración de cinco meses, ¿cuál es la probabilidad de que este incidente ocurra en el 4º mes?

a. $0.1$

b. $0.2$

c. $0.3$

d. Menos de $1$ %.

Respondí C, que resultó ser correcta. Intuitivamente no veo la forma de calcular el riesgo del cuarto mes por separado. Pero no puedo explicar por qué; ¿cómo?

Answer 1

Lo que el profesor quería decir -supongo- es que la probabilidad de que el suceso ocurra en el 3er mes es del 30%... Y la probabilidad de que ocurra en el 4º mes es del 30%... Y la probabilidad de que ocurra en el 5º mes es del 30%. Y no se trata necesariamente de un suceso que ocurra una sola vez, o ninguna, por lo que podría ocurrir en los 3 meses y los porcentajes podrían sumar más de 100. Pero la forma en que está redactado el problema se interpreta más fácilmente como que la probabilidad de que ocurra al menos una vez en ese periodo de 3 meses es del 30%. Lo que significaría que probablemente habría menos de 0,3 probabilidades de que ocurriera en un solo mes.

Answer 2

Se trata más bien de un ejercicio de modelado. Debes dar alguna interpretación razonable del problema y luego hacer los cálculos. Aquí tienes una interpretación que me parece razonable. La probabilidad de un incidente cada mes son independientes, y cada mes con probabilidad $p$ . A continuación, defina para cada $i$ , $i=1, \dots, 5$ así que $$ X_i = \begin{cases} 1, \text{incident in month $i$} \\ 0, \text{otherwise} \end{cases} $$ Entonces, si $Y$ es la variable aleatoria definida por el incidente que se produce en el mes 3, 4 ó 5, tenemos $$ Y = \left\{ X_3+X_4+X_5 \ge 1 \right\} = \left\{ X_3+X_4+X_5=0 \right\}^c. $$ Ahora $X_3+X_4+X_5$ tiene la distribución binomial con parámetros conocidos, ¡y ya puedes hacer el resto de los cálculos!

Answer 3

Por lo que veo, los intentos de justificar la respuesta C se agarran a un clavo ardiendo. Es posible que el problema estuviera mal redactado, y que se pretendiera decir que el incidente tiene un 30% de probabilidad de ocurrir en cada de los últimos tres meses. Esa intención haría que C fuera correcta, pero no es lo que expresa la redacción real, que no dice nada sobre "cada uno". La única interpretación plausible de la información dada, en mi opinión, es que el 30% es la probabilidad de que se produzca un incidente (al menos un incidente) en el periodo de tres meses que abarca el tercer, cuarto y quinto mes del proyecto.

La información facilitada no distingue entre el tercer, el cuarto y el quinto mes. Si fuera posible deducir de esta información una probabilidad del 30% para un incidente en el cuarto mes, entonces sería igualmente posible deducir una probabilidad del 30% para un incidente en el tercer mes y una probabilidad del 30% para un incidente en el quinto mes. Y la única forma de que esa situación dé lugar a una probabilidad del 30% de que se produzca un incidente en algún momento de esos tres meses es que los sucesos "incidente en el mes 3", "incidente en el mes 4" e "incidente en el mes 5" sean (no independientes, como algunos han sugerido, sino) idénticos salvo por posibles diferencias de probabilidad cero.