Quiero demostrar el siguiente teorema:
Sea X un espacio de Banach separable y reflexivo, $1<p<\infty$ t $$ L^p((0,1),X)^* = L^q((0,1),X^*) $$ donde $\frac1{p}+\frac1{q} = 1$ con representación $v\in L^q((0,1),X^*), u \in L^p((0,1),X)$ $$ \left<v,u\right> = \int_0^1 \left<v(t),u(t)\right> {\rm d}t. $$
Me gustaría saber por qué necesito la reflexividad y la separabilidad de $X$ . Aquí esbozo mi prueba, pero parece que no necesito ni reflexividad ni separabilidad.
Esbozo de prueba:
La inclusión dura es $$ L^p((0,1),X)^* \subset L^q((0,1),X^*) $$
Así que $v^* \in L^p((0,1),X)^*$ que queremos encontrar $v \in L^q((0,1),X^*)$ tal que $$ \left<v^*,u\right> = \int_0^1 \left<v(t),u(t)\right> {\rm d}t $$ para todos $u \in L^p((0,1),X)$ .
Construiré una aproximación constante a trozos $v_n$ de $v^*$ de tal manera que: \begin{align} v_n(t) &= \sum_{k=0}^{n-1} \chi_{(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})}(t) v_n^k \qquad &v_n^k \in X^* \\ \left< v^* , x \chi_{(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})} \right> &= \frac{1}{n} \left< v_n^k, x \right> \qquad &\forall x \in X \end{align} donde $\chi_A$ es la función característica del conjunto $A$ .
Debería ser bastante fácil demostrar que para cualquier función simple $u\in L^p((0,1),X)$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\left< v_n , u \right> = \left< v^* , u \right>, $$
Ahora viene la parte en la que podría necesitar reflexividad y separabilidad. Necesito demostrar que $v_n$ converge realmente a alguna función $v\in L^q((0,1),X^*)$ . Supongo que podría haber algún problema con la mensurabilidad, por lo que la separabilidad de $X$ podría ser útil, pero no me queda claro.
Si sabemos que $v_n$ converge a alguna función $v\in L^q((0,1),X^*)$ que sabemos que $$ \left<v^*,u\right> = \left<v,u\right> $$ para todas las funciones simples $u$ . Desde $\left<v^*,\cdot\right>,\left<v,\cdot\right>$ son ambas continuas que $$ \left<v^*,u\right> = \left<v,u\right> $$ para todas las funciones $u \in L^p((0,1),X)$
Así que el único problema que veo es cómo mostrar que $v_n$ converge a alguna función $v$ .
La conjetura salvaje es que a partir de la reflexividad puedo demostrar que $v_n$ converge débilmente a $v$ pero eso me da sólo una débil mensurabilidad de $v$ por lo que necesito la separabilidad de $X$ para obtener una fuerte mensurabilidad de $v$ .
