¿Qué se puede decir de los índices de Schur, dada sólo la tabla de caracteres?

Question

Sea $\chi$ sea un carácter irreducible (complejo) de un grupo finito, $G$ . El índice de Schur $m_{K}(\chi)$ de $\chi$ sobre el campo $K$ es el número entero positivo más pequeño $m$ tal que $m\chi$ mediante una representación sobre el campo $K(\chi)$ . El caso más interesante es $K=\mathbb{Q}$ . Dada la tabla de caracteres, o sólo el carácter concreto en el que uno está interesado, normalmente se pueden derivar límites para $m(\chi)=m_{\mathbb{Q}}(\chi)$ . Por ejemplo, $m(\chi)$ divide $\chi(1)$ y $n[\chi^n,1_G]$ para todos $n\in \mathbb{N}$ (Fein), y el Teorema de Benard-Schacher nos dice que $\mathbb{Q}(\chi)$ contiene una primitiva $m(\chi)$ -enésima raíz de la unidad.
Por otro lado, el ejemplo del grupo de cuaterniones $Q_8$ y el grupo diedro $D_8$ muestra que dos grupos pueden tener tablas de caracteres idénticas, pero caracteres correspondientes con índices de Schur diferentes. Tengo curiosidad por saber si hay ejemplos aún peores que éste.

Notación: Para ser más preciso, haré las siguientes suposiciones: Damos dos grupos finitos $G$ y $H$ tal que existe una biyección $\tau\colon {\rm Cl}(G) \to {\rm Cl}(H)$ de las clases de $G$ a las clases de $H$ y tal que $\psi \mapsto \psi \circ \tau$ es una biyección ${\rm Irr}(H)\to {\rm Irr}(G)$ . Ahora:

¿Hay algún ejemplo con $m(\chi)/m(\chi\circ\tau)\notin \{1,2,1/2\}$ para algunos $\chi\in {\rm Irr}(H)$ ?

¿Hay algún ejemplo con $G$ de orden impar y $m(\chi) / m(\chi\circ\tau)\neq 1$ para algunos $\chi \in {\rm Irr}(H)$ ?

Supongamos ahora que conocemos los mapas de potencia de la tabla de caracteres. Estos son los mapas $\pi_n^G\colon {\rm Cl}(G)\to {\rm Cl}(G)$ inducida por $g\mapsto g^n$ . (Estos mapas se almacenan en las tablas de la biblioteca de tablas de caracteres de GAP.) Dados estos mapas, se puede calcular $[\chi_C, 1_C]$ para subgrupos cíclicos $C\leq G$ por ejemplo. También podemos calcular el indicador de Frobenius-Schur y, por tanto, el índice de Schur sobre $\mathbb{R}$ .
Supongamos ahora que $\tau\circ \pi_n^G = \pi_n^H\circ \tau$ en la situación anterior (entonces $(G,H)$ se denomina par de Brauer).

¿Hay una pareja Brauer $(G,H)$ tal que $m(\chi)/m(\chi\circ\tau)\neq 1$ para algunos $\chi\in {\rm Irr}(H)$ ?

Agradecería cualquier ejemplo o (indicación de) resultados que demuestren la imposibilidad de tales ejemplos.

Gracias

Answer 1

El siguiente es un teorema de K. Kronstein:

Teorema: para $k$ un campo numérico o una terminación no arquimediana de un campo numérico, si es posible detectar el índice de Schur $m_k$ de todos los grupos finitos a partir de su tabla de caracteres y mapas de potencia, entonces $m_k(\chi) \leq 2$ para todos los caracteres $\chi$ de grupos finitos.

En particular, para un grupo finito $G$ el mapa $\tau: G \times G \to G \times G$ definido por $\tau(x,y) = (x,y^{-1})$ induce una biyección en las clases de conjugación que preserva los mapas de potencia $x \mapsto x^n$ y una biyección sobre caracteres, pero no preserva necesariamente los índices de Schur mayores que 2. Así, el mapa $\tau$ responde positivamente a la primera y a la tercera pregunta. También proporciona una respuesta positiva a la segunda pregunta una vez que uno produce un ejemplo de un grupo de orden impar con un carácter con índice de Schur mayor que 2.

Proporciono la prueba de Kronstein aquí:

Supongamos que $\chi$ es un carácter de $G$ , $k$ es un campo numérico o una terminación no arquimediana de un campo numérico, y el índice de Schur $m = m_k(\chi)$ es como mínimo $3$ . Sea $K = k(\chi)$ , dejemos que $V$ sea un irreducible $KG$ -módulo que proporciona el carácter $m\chi$ y que $D = End_{KG}(V)$ . Es un álgebra de división de orden $m$ en el grupo de Brauer de $K$ .

Considere los personajes $\chi \boxtimes \chi$ y $\chi \boxtimes \chi^\vee$ en $G \times G$ . Entonces $$End_{K(G\times G)}(V\boxtimes V) = D \otimes_K D.$$ Desde $m>2$ , $D \otimes_K D$ no se divide, por lo que $\chi\boxtimes \chi$ tiene un índice de Schur superior a 1. Sin embargo, $$End_{K(G \times G)}(V \boxtimes V^\vee) = D \otimes_K D^{op},$$ que se divide en $K$ y, por tanto $\chi \boxtimes \chi^\vee$ tiene índice de Schur 1.

---

Referencia:

Karl Kronstein. Tablas de caracteres y el índice de Schur. En Teoría de la representación de grupos finitos y temas relacionados , volumen 21 de Actas de simposios de matemáticas puras páginas 97-98. American Mathematical Soc., 1971