Evaluar la integral $\int\limits_1^\infty x^{y^m}dy$

Question

¿Cuál sería la evaluación de la integral definida $$\int\limits_1^\infty x^{y^m}dy$$ donde $x$ con $0 < x < 1 $ es real ; $m > 1$ es cualquier entero. Al menos una aproximación será suficiente si el error de la aproximación es determinable.

Answer 1

Usando la función gamma incompleta, esto es $$ \frac{\Gamma(1/m,-\log x)}{m\cdot(-\log x)^{1/m}}. $$ Pista: Usa el cambio de variable $t=-\log x\cdot y^m$.

Answer 2

Dado que $x \in (0,1)$ esto es lo mismo que $1/a$ donde $a\in(0,\infty)$ entonces mediante algunos cálculos numéricos obtuve que $$ \int_0^\infty \left(\frac{1}{a}\right)^{y^r}\mathrm{d}y=-\frac{1}{r} \cdot \frac{(-1)^{1 - 2/r} \Gamma(1/r)}{\sqrt[r]{\log(a)}} $$ Así que ahora solo tienes que restar el valor de $$ \int_0^1 \left( \frac{1}{a}\right)^{y^r} \mathrm{d}y$$ para obtener la integral deseada. La última integral se puede aproximar de varias maneras. Aunque creo que una expansión de Taylor o una suma serían suficientes.