La teoría de Galois nos dice que $\frac{z^{11}-1}{z-1} = z^{10} + z^9 + z^8 + z^7 + z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1$ puede resolverse en radicales porque su grupo es resoluble. En realidad realizar el cálculo está más allá de mí, sin embargo - aquí lo que he conseguido hasta ahora:
Sean las raíces $\zeta^1,\zeta^2,\ldots,\zeta^{10}$ Siguiendo a Gauss, podemos dividir el problema en resolver quínticos y cuadráticos buscando subgrupos de las raíces. Como 2 es un generador del grupo $[2,4,8,5,10,9,7,3,6,1]$ podemos dividir en los cinco subgrupos de pares conjugados $[2,9]$ , $[4,7]$ , $[8,3]$ , $[5,6]$ , $[10,1]$ .
Ahora pon $q_1 = \zeta^2+\zeta^9$ , $q_2 = \zeta^4+\zeta^7$ , $q_3 = \zeta^8+\zeta^3$ , $q_4 = \zeta^5+\zeta^6$ , $q_5 = \zeta^{10}+\zeta^1$ . Así que si podemos resolver la quíntica $(q - q_1)(q - q_2)(q - q_3)(q - q_4)(q - q_5) = q^5 + q^4 - 4q^3 - 3q^2 + 3q + 1 = 0$ sólo nos quedaría resolver unas cuantas ecuaciones cuadráticas.
Ahora pari/gp me dice que este quíntico tiene el grupo cíclico C(5):
? polgalois(x^5 + x^4 - 4*x^3 - 3*x^2 + 3*x + 1)
%1 = [5, 1, 1, "C(5) = 5"]He trabajado con ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas basadas en el grupo de Galois, pero cuando se trata de esta quíntica estoy completamente perplejo, ¡así que cualquier consejo sería tremendamente útil! Gracias.
Edita: Gracias a Robin Chapman, el problema se ha reducido considerablemente. Sea $\omega$ sea una raíz 5ª primitiva de la unidad (que es fácil de expresar en radicales), sólo queda expresar $(q_1 + \omega q_2 + \omega^2 q_3 + \omega^3 q_4 + \omega^4 q_5)^5$ en términos de racionales y potencias de $\omega$ (y luego todo se puede volver a sustituir y resolver fácilmente). Sabemos que esto es posible porque el término es fijado por el grupo de galois quintics, cómo realizar realmente esto me evade pero intentaré encontrar una manera.
