Transformación lineal sobre números complejos

Question

Sólo quiero verificar que estoy en el camino correcto para esto:

Si $T$ es la transformación lineal $T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (donde $\mathbb{C}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $T(x) = (a + bi) \cdot x$ encuentre la matriz que representa $T$ para la base $\{1, i\}$ .

Así que $T(1) = (a + bi) \cdot 1 = a + bi$ y $T(i) = ai + bi^2 = ai - b$ y, por tanto, la matriz que representa $T$ es $\left( \begin{array}{c} a + bi \\ ai - b \end{array} \right)$ ?

¿O se trata de una matriz lineal? ¿O es totalmente errónea?

Answer 1

Debe expresar el resultado en la base $\{1,i\}$ también, es decir su matriz debe ser $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a\end{bmatrix}$ .