Primera vez que la suma aleatoria supera el valor

Question

Supongamos que $X_n$ $n = 1, 2, \ldots$ son variables aleatorias i.i.d con $\mu := \mathbb{E}[X_n]$ > 0. (aunque no son necesariamente no negativos). Entonces, si $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ y $\tau_a$ = $\inf \{n \geq 1 : S_n \geq a\}$ - para que $\tau$ es la primera vez que la suma aleatoria supera el valor a. ¿Existe algún $b,c$ independiente de $a$ tal que $\mathbb{E}[\tau_a] \leq b+c a$ ? (¿o hay alguna forma de vincular $\mathbb{E}[\tau_a]$ a la expectativa).

Además, podemos suponer que todos los momentos de $X_n$ en caso necesario.

Intenté un límite ingenuo usando la desigualdad de Chebyshev en $S_n$ decir que debe estar cerca de $n \mu$ y luego $\mathbb{E}[\tau_a] = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}[\tau_a \geq k] \leq \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}[S_k \leq a]$ - sin embargo, los detalles no terminan de encajar.

También intenté considerar $M_n = S_n - n\mu$ como una martingala y tratando de utilizar la parada opcional, pero ya que $M_{n \land \tau}$ no está delimitado por abajo, tampoco veo cómo hacerlo funcionar.

Otra idea es intentar utilizar Teorema de Walds pero el supuesto 3 de la página de la wikipedia me plantea exactamente las mismas dificultades que intentar utilizar la parada opcional

Creo que esto debería ser posible, ya que si vemos $S_k$ como la martingala $M_k$ y cierta deriva, entonces estamos en un caso similar al del Movimiento Browniano con deriva, aunque nuestro caso es discreto. Entonces los tiempos de golpe $\rho_a$ del movimiento browniano con deriva (que ahora son continuas) satisfacen $\mathbb{E}[\rho_a] \leq c a$ y se puede encontrar un pdf explícito.

Answer 1

$\newcommand\al\alpha$ El límite deseado es fácil de obtener si suponemos que $\alpha_p:=E|X_1-\mu|^p<\infty$ de verdad $p\in(2,3)$ .

En efecto, $$E\tau_a=E\sum_{n=0}^{\tau_a-1} 1=E\sum_{n=0}^\infty 1(\tau_a>n)=\sum_{n=0}^\infty P(\tau_a>n). \tag{1}\label{1}$$ A continuación, si $n\ge2a/\mu$ entonces $$P(\tau_a>n)\le P(S_n<a)=P(S_n-n\mu<a-n\mu) \le\frac{E|S_n-n\mu|^p}{|n\mu-a|^p} \le2^p\frac{E|S_n-n\mu|^p}{n^p\mu^p} \le C_1\frac{n\al_p+n^{p/2}\al_2^{p/2}}{n^p\mu^p} \le\frac{C_2}{n^{p/2}\mu^p};$$ aquí, $C_1$ es una constante real positiva universal, $C_2$ es un número real positivo que sólo depende de $\al_p$ y la penúltima desigualdad es una aplicación de La desigualdad de Rosenthal .

Así, por \eqref {1}, $$E\tau_a\le\sum_{0\le n<2a/\mu}1+\sum_{n\ge2a/\mu}\frac{C_2}{n^{p/2}\mu^p} \le\frac2\mu\,a+1+\frac{C_3}{\mu^p}, \tag{2}\label{2}$$ donde $C_3$ es un número real positivo que sólo depende de $\varepsilon:=p/2-1>0$ y $\al_p$ . $\quad\Box$

Se puede sustituir el factor $\dfrac2\mu$ en el límite superior de $E\tau_a$ en \eqref {2} por $\dfrac{1+\delta}\mu$ para cualquier $\delta>0$ pero entonces $C_3$ tendrá que depender de $\delta$ también.