Qué números enteros $a, b, c$ satisfacen la ecuación $a \sqrt 2 − b = c \sqrt5$ ?

Question

Esta es una pregunta sin calculadora:

Qué números enteros $a, b, c$ satisfacen la ecuación $a \sqrt 2 b = c \sqrt5$ ?

He intentado solucionarlo por ensayo y error y la única solución que parece que consigo es $0,0,0$ .

Answer 1

Supongamos que hay $a,b,c \in \mathbb{Z},ac \neq 0$ tal que $a \sqrt 2 − b = c \sqrt5$

$$b=a\sqrt{2} -c\sqrt{5}$$ $$b^2=2a^2+5c^2-2ac\sqrt{10}$$ $$\sqrt{10}=\frac{2a^2+5c^2-b^2}{2ac}$$ $$\implies \sqrt{10} \space \text{is rational (contradiction)}$$

EDIT: Como sugiere A.P., tendremos que descartar los casos en que $a=0$ y cuando $c=0$ para una solución completa.

En $a=0$ ,

$$\sqrt{5}=-\frac b{c} \space \Rightarrow\Leftarrow$$

En $c=0$ ,

$$\sqrt{2}=\frac b{a} \space \Rightarrow\Leftarrow$$

Answer 2

Pista: eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación y recuerda que $\sqrt2$ y $\sqrt5$ son irracionales.