Prueba $A\cap(A'\cap B')'=A$ utilizando leyes de equivalencia de conjuntos

Question

Tengo problemas para utilizar las leyes de equivalencia de conjuntos para demostrar lo siguiente.

$$A\cap(A'\cap B')'=A$$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

A veces las cifras valen más que 1.000 palabras:

Answer 2

Daré la derivación algebraica del enunciado como complemento a las bonitas ilustraciones de Davids.

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Por el Leyes De Morgan para el complemento, derivamos primero

$$A\cap (A'\cap B')'=A\cap ((A')'\cup (B')')$$

Por propiedades elementales del complemento, es decir $(X')'=X$ tenemos

$$A\cap ((A')'\cup (B')')=A\cap (A\cup B)$$

Ahora, $\cap$ distribuye sobre $\cup$ es decir

$$A\cap (A\cup B)=(A\cap A)\cup (A\cap B)=A\cup (A\cap B)$$

como $A\cap A=A$ . Ahora, como $A\cap B\subseteq A$ tenemos $A\cup (A\cap B)=A$ .

Answer 3

$$A \cap (A'\cap B')'$$

como por la ley de morgan $(P \cap Q)'= P'\cup Q' $

así $$(A'\cap B')'=A \cup B$$

$$A \cap (A \cup B) $$ $$(A \cap A) \cup (A \cap B)$$ $$A \cap A =A $$ $$A \cup (A \cap B)$$ Por el diagrama de Venn, está claro que no es más que A