Demuestre que una función es integrable en Lebesgue si y sólo si la serie es absolutamente convergente

Question

Intento resolver el siguiente problema:

Sea $\Omega$ $=$ $\mathbb{N}$ y $A$ = $P$ ( $\mathbb{N}$ ). Definimos la medida de recuento µ( $A$ ) en $P$ ( $\mathbb{N}$ ). Sea $f$ : $\Omega$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ sea una función. Demuestre que $f$ es integrable si y sólo si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}$ $f(n)$ es absolutamente convergente. Entonces demuestre $\int_\mathbb{N}$ $f$ dµ = $\sum_{n=1}^{\infty}$ $f(n)$ .

Observación: definición de $f$ integrable: $f$ es integrable si $f$ es medible y $\int$ $f^+$ dµ < $\infty$ y $\int$ $f^-$ dµ < $\infty$ . Definimos $\int$ $f$ dµ $=$ $\int$ $f^+$ dµ $-$ $\int$ $f^-$ dµ.

Answer 1

Sea $\Omega^+ = \{ n \in \mathbb{N} : f(n) > 0 \}$ y $\Omega^- = \{ n \in \mathbb{N} : f(n) < 0 \}$ . Si $f$ es integrable, lo que significa que la serie no negativa

$$\int\limits_{\Omega^+}f = \sum\limits_{n \in \Omega^+} f(n)\space; \space \int\limits_{\Omega^-}-f = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}-f(n)$$ son ambos finitos. Entonces su suma también es finita:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |f(n)| = \sum\limits_{n \in \Omega^+}f(n) + \sum\limits_{n \in \Omega^-} f(n) < \infty$$

Yendo en la otra dirección, supones que la serie anterior es finita. Entonces las dos subseries procedentes de $\Omega^+$ y $\Omega^-$ también son finitos, por lo que $f$ es integrable.